Problema 897

En una caja hay billetes de 5, 10 y 20€ por un valor de 400€. Se sabe que el número de billetes de 20€ es la tercera parte del total y que el número de billetes de 5€ es inferior en 4 unidades al del resto.

a) Escribe un sistema de ecuaciones que represente el problema.
b) Escríbelo en forma matricial.
c) Calcula la matriz inversa de la matriz de coeficientes y resuelve el sistema.


Solución:

Sea x el número de billetes de 5€, y el número de billetes de 10€ y z el número de billetes de 20€.

a) Se sabe que en total hay 400€:

5x+10y+20z=400~;\\\\x+2y+4z=80

El número de billetes de 20€ es la tercera parte del total:

z=\dfrac13\cdot(x+y+z)~;\\\\x+y-2z=0

El número de billetes de 5€ es inferior en 4 unidades al del resto:

x=y+z-4~;\\\\x-y-z=-4

El sistema de ecuaciones que representa el problema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+2y+4z&=80\\x+y-2z&=0\\x-y-z&=-4\end{array}\right.


b) El sistema anterior en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&2&4\\1&1&-2\\1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80\\0\\-4\end{pmatrix}


c) Calculamos la matriz inversa de M por Gauss:

\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\1&1&-2&|&0&1&0\\1&-1&-1&|&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_2-F_1\rightarrow F_2\\F_3-F_1\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\0&-1&-6&|&-1&1&0\\0&-3&-5&|&-1&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_3-3F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\0&-1&-6&|&-1&1&0\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}13F_1-4F_3\rightarrow F_1\\13F_2+6F_3\rightarrow F_2\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}13&26&0&|&5&12&-4\\0&-13&0&|&-1&-5&6\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_1+2F_2\rightarrow F_1\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}13&0&0&|&3&2&8\\0&-13&0&|&-1&-5&6\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_1/13\rightarrow F_1\\F_2/(-13)\rightarrow F_2\\F_3/13\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&|&\frac3{13}&\frac2{13}&\frac8{13}\\0&1&0&|&\frac1{13}&\frac5{13}&\frac{-6}{13}\\0&0&1&|&\frac2{13}&\frac{-3}{13}&\frac1{13}\end{pmatrix}

Es decir:

M^{-1}=\dfrac1{13}\cdot\begin{pmatrix}3&2&8\\1&5&-6\\2&-3&1\end{pmatrix}

La solución del sistema es X=M^{-1}N):

X=\dfrac1{13}\cdot\begin{pmatrix}3&2&8\\1&5&-6\\2&-3&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}80\\0\\-4\end{pmatrix}=\dfrac1{13}\cdot\begin{pmatrix}208\\104\\156\end{pmatrix}~;\\\\X=\begin{pmatrix}16\\8\\12\end{pmatrix}

Es decir, en la caja hay 16 billetes de 5€, 8 billetes de 10€ y 12 billetes de 20€.

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