En una caja hay billetes de 5, 10 y 20€ por un valor de 400€. Se sabe que el número de billetes de 20€ es la tercera parte del total y que el número de billetes de 5€ es inferior en 4 unidades al del resto.
a) Escribe un sistema de ecuaciones que represente el problema.
b) Escríbelo en forma matricial.
c) Calcula la matriz inversa de la matriz de coeficientes y resuelve el sistema.
Solución:
Sea x el número de billetes de 5€, y el número de billetes de 10€ y z el número de billetes de 20€.
a) Se sabe que en total hay 400€:
El número de billetes de 20€ es la tercera parte del total:
El número de billetes de 5€ es inferior en 4 unidades al del resto:
El sistema de ecuaciones que representa el problema es:
b) El sistema anterior en forma matricial 
c) Calculamos la matriz inversa de M por Gauss:
![\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\1&1&-2&|&0&1&0\\1&-1&-1&|&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_2-F_1\rightarrow F_2\\F_3-F_1\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\0&-1&-6&|&-1&1&0\\0&-3&-5&|&-1&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_3-3F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\0&-1&-6&|&-1&1&0\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}13F_1-4F_3\rightarrow F_1\\13F_2+6F_3\rightarrow F_2\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}13&26&0&|&5&12&-4\\0&-13&0&|&-1&-5&6\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_1+2F_2\rightarrow F_1\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}13&0&0&|&3&2&8\\0&-13&0&|&-1&-5&6\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_1/13\rightarrow F_1\\F_2/(-13)\rightarrow F_2\\F_3/13\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&|&\frac3{13}&\frac2{13}&\frac8{13}\\0&1&0&|&\frac1{13}&\frac5{13}&\frac{-6}{13}\\0&0&1&|&\frac2{13}&\frac{-3}{13}&\frac1{13}\end{pmatrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%262%264%26%7C%261%260%260%5C%5C1%261%26-2%26%7C%260%261%260%5C%5C1%26-1%26-1%26%7C%260%260%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7DF_2-F_1%5Crightarrow+F_2%5C%5CF_3-F_1%5Crightarrow+F_3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%262%264%26%7C%261%260%260%5C%5C0%26-1%26-6%26%7C%26-1%261%260%5C%5C0%26-3%26-5%26%7C%26-1%260%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5BF_3-3F_2%5Crightarrow+F_3%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%262%264%26%7C%261%260%260%5C%5C0%26-1%26-6%26%7C%26-1%261%260%5C%5C0%260%2613%26%7C%262%26-3%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D13F_1-4F_3%5Crightarrow+F_1%5C%5C13F_2%2B6F_3%5Crightarrow+F_2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D13%2626%260%26%7C%265%2612%26-4%5C%5C0%26-13%260%26%7C%26-1%26-5%266%5C%5C0%260%2613%26%7C%262%26-3%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5BF_1%2B2F_2%5Crightarrow+F_1%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D13%260%260%26%7C%263%262%268%5C%5C0%26-13%260%26%7C%26-1%26-5%266%5C%5C0%260%2613%26%7C%262%26-3%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7DF_1%2F13%5Crightarrow+F_1%5C%5CF_2%2F%28-13%29%5Crightarrow+F_2%5C%5CF_3%2F13%5Crightarrow+F_3%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%260%260%26%7C%26%5Cfrac3%7B13%7D%26%5Cfrac2%7B13%7D%26%5Cfrac8%7B13%7D%5C%5C0%261%260%26%7C%26%5Cfrac1%7B13%7D%26%5Cfrac5%7B13%7D%26%5Cfrac%7B-6%7D%7B13%7D%5C%5C0%260%261%26%7C%26%5Cfrac2%7B13%7D%26%5Cfrac%7B-3%7D%7B13%7D%26%5Cfrac1%7B13%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\1&1&-2&|&0&1&0\\1&-1&-1&|&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_2-F_1\rightarrow F_2\\F_3-F_1\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\0&-1&-6&|&-1&1&0\\0&-3&-5&|&-1&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_3-3F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&4&|&1&0&0\\0&-1&-6&|&-1&1&0\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}13F_1-4F_3\rightarrow F_1\\13F_2+6F_3\rightarrow F_2\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}13&26&0&|&5&12&-4\\0&-13&0&|&-1&-5&6\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_1+2F_2\rightarrow F_1\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}13&0&0&|&3&2&8\\0&-13&0&|&-1&-5&6\\0&0&13&|&2&-3&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_1/13\rightarrow F_1\\F_2/(-13)\rightarrow F_2\\F_3/13\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&|&\frac3{13}&\frac2{13}&\frac8{13}\\0&1&0&|&\frac1{13}&\frac5{13}&\frac{-6}{13}\\0&0&1&|&\frac2{13}&\frac{-3}{13}&\frac1{13}\end{pmatrix}")
Es decir:
La solución del sistema es 
Es decir, en la caja hay 16 billetes de 5€, 8 billetes de 10€ y 12 billetes de 20€.
♦