Problema 898

El precio de venta de un electrodoméstico en un centro comercial (en cientos de euros) viene dado por la función:

P(t)=\dfrac{24}{t^2-4t+16}+2

siendo t≥0 el tiempo transcurrido en años desde el momento en que se puso a la venta.

a) Calcula el precio de lanzamiento del producto. ¿En qué momento el precio del electrodoméstico vuelve a ser el mismo que el precio de lanzamiento?
b) Determina los períodos en los que el precio del electrodoméstico ha aumentado y ha disminuido. ¿Cuál ha sido el precio de venta máximo? ¿En qué momento se ha producido?
c) Estudia la tendencia del precio de venta del electrodoméstico con el paso del tiempo.


Solución:

a) El precio de lanzamiento es P cuando t=0:

P(0)=\dfrac{24}{0^2-4\cdot0+16}+2=3.5

Es decir, el precio inicial es de 350€.

Para calcular cuándo el precio de venta vuelve a ser 350€ planteamos la ecuación:

3.5=\dfrac{24}{t^2-4t+16}+2

y la resolvemos:

1.5=\dfrac{24}{t^2-4t+16}~;\\\\1.5(t^2-4t+16)=24~;\\\\t^2-4t+16=16~;\\\\t^2-4t=0~;\\\\t(t-4)=0

Ecuación cuyas soluciones son t=0 y t=4. La primera solución es el momento del lanzamiento, luego, el precio vuelve a ser el mismo que en el lanzamiento pasados 4 años.


b) Nos piden estudiar la monotonía de la función precio P. Comenzamos calculando los puntos críticos de dicha función (recordar la tabla de derivadas):

P'(t)=\dfrac{-24(2t-4)}{(t^2-4t+16)^2}=0\\\\-24(2t-4)=0~;\\\\2t-4=0~;\\\\2t=4~;\\\\t=2

Sabiendo que el dominio de la función P es t≥0 y el punto crítico antes calculado, estudiamos la monotonía de P en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }P'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }P(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • P crece en (0,2)
  • P decrece en (2,+∞)

Luego, para t=2 años el precio es máximo y su valor es

P(2)=\dfrac{24}{2^2-4\cdot2+16}+2=4

es decir 400€.


c) Al pasar mucho tiempo el precio tiende a:

\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}\dfrac{24}{t^2-4t+16}+2=\dfrac{24}{+\infty}+2=0+2=2

Es decir, pasado un tiempo suficientemente grande, el precio del electrodoméstico tiende a 200€.

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