Problema 899

En una ciudad, el 20% de las personas que acceden a un centro comercial proceden del centro de la ciudad, el 45% de barrios periféricos y el resto de pueblos cercanos. Efectúan alguna compra el 60%, el 75% y el 50% de cada procedencia respectivamente.

a) Si un determinado día visitan el centro comercial 2000 personas, ¿cuál es el número esperado de personas que no realizan compras?
b) Si elegimos al azar una persona que ha realizado alguna compra en ese centro comercial, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de un pueblo cercano?


Solución:

Sea A el suceso “proceder del centro”, sea B el suceso “proceder de barrios periféricos”, sea C el suceso “proceder de pueblos cercanos” y sea K el suceso “efectuar alguna compra”. A partir del enunciado sabemos que:

  • P[A]=0.2
  • P[B]=0.45
  • P[C]=1-0.2-0.45=0.35
  • P[K/A]=0.6
  • P[K/B]=0.75
  • P[K/C]=0.5

Podemos utilizar el siguiente diagrama de árbol para ayudarnos:

p899

a) Comenzamos calculando la probabilidad de que una persona escogida al azar no efectúe alguna compra, P[\overline K]:

P[\overline K]=1-P[K]

Necesitamos la probabilidad total P[K]:

P[K]=P[A]\cdot P[K/A]+P[B]\cdot P[K/B]+P[C]\cdot P[K/C]=\\\\=0.2\cdot0.6+0.45\cdot0.75+0.35\cdot0.5=0.6325

Luego:

P[\overline K]=1-0.6325=0.3675

Entonces, si un determinado día visitan el centro comercial 2000 personas, se espera que no realicen compras:

2000\cdot0.3675=\boxed{735\text{ personas}}


b) Nos piden la probabilidad la probabilidad de que una persona sea de un pueblo cercano sabiendo que ha realizado alguna compra, P[C/K]. Utilizamos el teorema de Bayes para resolverlo:

P[C/K]=\dfrac{P[C]\cdot P[K/C]}{P[K]}=\\\\=\dfrac{0.35\cdot0.5}{0.6325}=\boxed{0.2767}

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