Problema 900

Se tomó una muestra aleatoria de 100 jóvenes y se les midió el nivel de glucosa en sangre obteniendo una media muestral de 105 mg/cm³. Se sabe que la desviación típica en la población es de 15 mg/cm³.

a) Obtén un intervalo de confianza, al 95%, para el nivel medio de glucosa en sangre en la población.
b) ¿Cuánto vale el error máximo en el intervalo anterior?
c) ¿Qué ocurre con la amplitud del intervalo si el nivel de confianza es del 99%?


Solución:

a) El intervalo de confianza para la media se escribe en la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

donde el error E es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

siendo σ=15, n=100 y \overline x=105. Para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96 como se explica aquí.
Luego:

E=1.96\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}}=2.94

y el intervalo de confianza resulta:

(105-2.94,105+2.94)=\boxed{(102.06,107.94)}


b) El error máximo ha sido obtenido en el apartado a):

E=2.94


c) Al aumentar el nivel de confianza aumenta el valor de z_{\alpha/2}, aumenta el valor del error E y por tanto aumenta la amplitud A del intervalo de confianza, siendo A=2E.

Para un nivel de confianza del 99%, según se explica aquí, tenemos z_{\alpha/2}=2.575. El error en este caso vale:

E=2.575\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}}=3.8625

y la amplitud vale A=7.725.

Comparamos con la amplitud para un nivel de confianza del 95%:

A=2\cdot2.94=5.88

Observamos que a mayor nivel de confianza aumenta la amplitud del intervalo de confianza.

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