Problema 901

Una bodega produce vinos blancos y tintos. La producción de ambos tipos de vino no debe superar los 90 millones de litros y la producción de vino blanco no debe superar el doble de la de vino tinto ni ser inferior a su mitad. También se sabe que para atender la demanda se deben producir al menos 45 millones de litros. La bodega comercializa el vino blanco a 8€ el litro y el tinto a 6€ el litro.

a) Plantea y representa gráficamente el problema.
b) ¿A cuánto ascienden los ingresos máximos y cómo se consiguen?


Solución:

a) Se trata de un problema de programación lineal.
Sea x el número de millones de litros de vino blanco e y el número de millones de litros de vino tinto.
La producción de ambos tipos de vino no debe superar los 90 millones de litros:

x+y\leq90

La producción de vino blanco no debe superar el doble de la de vino tinto:

x\leq2y

ni ser inferior a su mitad:

x\geq\dfrac y2

Se deben producir al menos 45 millones de litros:

x+y\geq45

Todas estas restricciones junto con las restricciones de positividad se agrupan en el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\leq90\\x\leq2y\\2x\geq y\\x+y\geq45\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Para representar gráficamente el problema, y en concreto la región factible, escribimos en primer lugar las ecuaciones de las rectas en el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}x+y=90\\x-2y=0\\2x-y=0\\x+y=45\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p901

La región sombreada es la región factible que verifica todas las restricciones.


b) Definimos la función ingresos I sabiendo que cada litro de vino blanco y tinto se comercializa a 8 y 6€ respectivamente. Como x e y son variables dadas en millones de litros, entonces I se mide en millones de euros:

I(x,y)=8x+6y

El máximo ingreso posible corresponde a uno de los vértices de la región factible. Comenzamos calculando dichos vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las ecuaciones de las rectas que forman dichos vértices.

\begin{array}{ll}A:~\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\x+y=45\end{array}\right.&\rightarrow A=(15,30)\\B:~\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\x+y=90\end{array}\right.&\rightarrow B=(30,60)\\C:~\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\x+y=90\end{array}\right.&\rightarrow C=(60,30)\\D:~\left\{\begin{array}{l}x-2y=0\\x+y=45\end{array}\right.&\rightarrow D=(30,15)\end{array}

Evaluamos la función ingresos I en cada uno de los vértices:

A\rightarrow I(15,30)=8\cdot15+6\cdot30=300\\\\B\rightarrow I(30,60)=600\\\\C\rightarrow I(60,30)=660\\\\D\rightarrow I(30,15)=330

Se observa que los mayores ingresos se tienen en el vértice C.
Los máximos ingresos son de 660 millones de euros produciendo 60 millones de litros de vino blanco y 30 millones de litros de vino tinto.

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