Problema 902

Considera la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2-4x+3&\text{si}&0\leq x\leq4\\7-x&\text{si}&4<x\leq7\end{array}\right.

a) Representa la función estudiando sus puntos de corte con los ejes, monotonía y extremos relativos. ¿Para qué valores de x es f(x)\geq0?
b) Calcula el área del recinto limitado por los ejes y la parte de la función tal que f(x)\geq0.


Solución:

a) Esta función a trozos está formado por una función cuadrática y otra lineal. Gráficamente son una parábola y una recta.
Comenzamos estudiando la parábola y=x^2-4x+3:

  • Punto de corte con el eje x (y=0):
    0=x^2-4x+3
    ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=3, de donde obtenemos los puntos (1,0) y (3,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=0^2-4\cdot0+3=3
    de donde obtenemos el punto (0,3)

Ahora la recta y=7-x:

  • Punto de corte con el eje x (y=0):
    0=7-x\rightarrow x=7
    La recta pasa por el punto (7,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    La recta no está definida para ese valor de x, pero sí pasa por el punto (4,3) que representamos con °.

Para estudiar la monotonía comenzamos calculando la derivada de f:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x-4&\text{si}&0<x<4\\-1&\text{si}&4<x<7\end{array}\right.

Calculamos los puntos críticos de f:

  • 2x-4=0\rightarrow x=2
  • -1=0!!!

Teniendo en cuenta el dominio de f y los puntos críticos, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(0,2)&(2,4)&(4,7)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (2,4)
  • f decrece en (0,2)\cup(4,7)
  • Mínimo en x=2 cuyo valor es f(2)=-1.

Nos piden estudiar el signo de f. Lo hacemos en la siguiente tabla teniendo en cuenta los puntos de corte con el eje x y el dominio:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(0,1)&(1,3)&(3,4)&(4,7)\\\hline\mbox{Signo }f(x)&+&-&+&+\\\hline\end{array}

Con todos lo calculado anteriormente podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p902


b) Nos piden calcular el área S de la región de la región sombreada que calcularemos utilizando integrales:

\displaystyle S=\int_0^1x^2-4x+3~dx+\int_3^4x^2-4x+3~dx+\int_4^77-x~dx

Por razón de simetría, la primera y segunda integrales son iguales, luego (recordar la tabla de integrales):

\displaystyle S=2\int_0^1x^2-4x+3~dx+\int_4^77-x~dx=\\\\=2\left[\dfrac{x^3}3-2x^2+3x\right]_0^1+\left[7x-\dfrac{x^2}2\right]_4^7=\\\\=2\left(\dfrac13-2+3\right)-2(0)+\left(49-\dfrac{49}2\right)-\left(28-\dfrac{16}2\right)=\\\\=\dfrac83+\dfrac{49}2-20=\boxed{\dfrac{43}6\text{ u.a.}}

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