Problema 903

Para la construcción de un panel luminoso se dispone de un contenedor con 200 bombillas blancas, 150 bombillas azules y 250 bombillas rojas. La probabilidad de que una bombilla del contenedor no funcione es 0.01 si es blanca, 0.02 si es azul y 0.03 si es roja. Se elige al azar una bombilla del contenedor:

a) Calcula la probabilidad de que la bombilla no funcione.
b) Sabiendo que la bombilla elegida funciona, calcula la probabilidad de que dicha bombilla no sea roja.


Solución:

Sea B el suceso “elegir una bombilla blanca”, sea A el suceso “elegir una bombilla azul”, sea R el suceso “elegir una bombilla roja” y sea D el suceso “elegir una bombilla que no funcione”.
En total hay 600 bombillas. Del enunciado sabemos que:

  • P[B]=\frac{200}{600}=\frac13
  • P[A]=\frac{150}{600}=\frac14
  • P[R]=\frac{250}{600}=\frac5{12}
  • P[D/B]=0.01
  • P[D/A]=0.02
  • P[D/R]=0.03

Con estos datos podemos construir el siguiente diagrama de árbol:

p903

a) Nos piden la probabilidad total P[D]:

P[D]=P[B]\cdot P[D/B]+P[A]\cdot P[D/A]+P[R]\cdot P[D/R]=\\\\=\dfrac13\cdot0.01+\dfrac14\cdot0.02+\dfrac5{12}\cdot0.03=\boxed{\dfrac1{48}}


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[\overline R/\overline D]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[\overline R/\overline D]=\dfrac{P[\overline R]\cdot P[\overline D/\overline R]}{P[\overline D]}\qquad(1)

Sabemos que:

  • P[\overline R]=1-P[R]=1-\dfrac5{12}=\dfrac7{12}
  • P[\overline D]=1-P[D]=1-\dfrac1{48}=\dfrac{47}{48}

Nos queda calcular P[\overline D/\overline R], para lo cual utilizaremos varios resultados:

  1. La fórmula de la probabilidad condicionada:
    P[\overline D/\overline R]=\dfrac{P[\overline D\cap\overline R]}{P[\overline R]}
  2. Una de las dos leyes de Morgan:
    P[\overline D/\overline R]=\dfrac{P[\overline{D\cup R}]}{P[\overline R]}
  3. La probabilidad del suceso contrario:
    P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-P[D\cup R]}{1-P[R]}
  4. La probabilidad de la unión:
    P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-\Big(P[D]+P[R]-P[D\cap R]\Big)}{1-P[R]}
  5. La probabilidad de la intersección:
    P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-\Big(P[D]+P[R]-P[R]\cdot P[D/R]\Big)}{1-P[R]}

Luego:

P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-\Big(\frac1{48}+\frac5{12}-\frac5{12}\cdot0.03\Big)}{1-\frac5{12}}=\dfrac{69}{70}

Y sustituyendo en (1):

P[\overline R/\overline D]=\dfrac{\frac7{12}\cdot\frac{69}{70}}{\frac{47}{48}}=\boxed{\dfrac{138}{235}}

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