Para la construcción de un panel luminoso se dispone de un contenedor con 200 bombillas blancas, 150 bombillas azules y 250 bombillas rojas. La probabilidad de que una bombilla del contenedor no funcione es 0.01 si es blanca, 0.02 si es azul y 0.03 si es roja. Se elige al azar una bombilla del contenedor:
a) Calcula la probabilidad de que la bombilla no funcione.
b) Sabiendo que la bombilla elegida funciona, calcula la probabilidad de que dicha bombilla no sea roja.
Solución:
Sea B el suceso «elegir una bombilla blanca», sea A el suceso «elegir una bombilla azul», sea R el suceso «elegir una bombilla roja» y sea D el suceso «elegir una bombilla que no funcione».
En total hay 600 bombillas. Del enunciado sabemos que:
Con estos datos podemos construir el siguiente diagrama de árbol:
a) Nos piden la probabilidad total :
b) Nos piden la probabilidad condicionada . Utilizamos el teorema de Bayes:
Sabemos que:
Nos queda calcular , para lo cual utilizaremos varios resultados:
- La fórmula de la probabilidad condicionada:
- Una de las dos leyes de Morgan:
- La probabilidad del suceso contrario:
- La probabilidad de la unión:
- La probabilidad de la intersección:
Luego:
Y sustituyendo en (1):
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