Problema 903

Para la construcción de un panel luminoso se dispone de un contenedor con 200 bombillas blancas, 150 bombillas azules y 250 bombillas rojas. La probabilidad de que una bombilla del contenedor no funcione es 0.01 si es blanca, 0.02 si es azul y 0.03 si es roja. Se elige al azar una bombilla del contenedor:

a) Calcula la probabilidad de que la bombilla no funcione.
b) Sabiendo que la bombilla elegida funciona, calcula la probabilidad de que dicha bombilla no sea roja.

Solución:

Sea B el suceso «elegir una bombilla blanca», sea A el suceso «elegir una bombilla azul», sea R el suceso «elegir una bombilla roja» y sea D el suceso «elegir una bombilla que no funcione».
En total hay 600 bombillas. Del enunciado sabemos que:

$P[B]=\frac{200}{600}=\frac13$
$P[A]=\frac{150}{600}=\frac14$
$P[R]=\frac{250}{600}=\frac5{12}$
$P[D/B]=0.01$
$P[D/A]=0.02$
$P[D/R]=0.03$

Con estos datos podemos construir el siguiente diagrama de árbol:

p903

a) Nos piden la probabilidad total $P[D]$ :

$P[D]=P[B]\cdot P[D/B]+P[A]\cdot P[D/A]+P[R]\cdot P[D/R]=\\\\=\dfrac13\cdot0.01+\dfrac14\cdot0.02+\dfrac5{12}\cdot0.03=\boxed{\dfrac1{48}}$

b) Nos piden la probabilidad condicionada $P[\overline R/\overline D]$ . Utilizamos el teorema de Bayes:

$P[\overline R/\overline D]=\dfrac{P[\overline R]\cdot P[\overline D/\overline R]}{P[\overline D]}\qquad(1)$

Sabemos que:

$P[\overline R]=1-P[R]=1-\dfrac5{12}=\dfrac7{12}$
$P[\overline D]=1-P[D]=1-\dfrac1{48}=\dfrac{47}{48}$

Nos queda calcular $P[\overline D/\overline R]$ , para lo cual utilizaremos varios resultados:

La fórmula de la probabilidad condicionada:
$P[\overline D/\overline R]=\dfrac{P[\overline D\cap\overline R]}{P[\overline R]}$
Una de las dos leyes de Morgan:
$P[\overline D/\overline R]=\dfrac{P[\overline{D\cup R}]}{P[\overline R]}$
La probabilidad del suceso contrario:
$P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-P[D\cup R]}{1-P[R]}$
La probabilidad de la unión:
$P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-\Big(P[D]+P[R]-P[D\cap R]\Big)}{1-P[R]}$
La probabilidad de la intersección:
$P[\overline D/\overline R]=\dfrac{1-\Big(P[D]+P[R]-P[R]\cdot P[D/R]\Big)}{1-P[R]}$