Problema 904

a) En una muestra aleatoria de n=25 estudiantes de bachillerato, el 75% afirman querer realizar estudios universitarios. Calcula un intervalo de confianza para la proporción de estudiantes de bachillerato que quieren realizar estudios universitarios con un nivel de confianza del 90%.

b) Si se sabe que 8 de cada 10 estudiantes de bachillerato afirman querer realizar estudios universitarios y tomamos una muestra aleatoria de n=100 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de estudiantes de la muestra que quieren realizar estudios universitarios sea superior al 65%?


Solución:

a) Nos piden el intervalo de confianza para la proporción cuya forma es:

(p-E,p+E)

siendo p=0.75 la proporción de estudiantes que afirma querer realizar estudios universitarios.
El error para la estimación de la proporción E es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

siendo n=25 y z_{\alpha/2}=1.645 para un nivel de confianza del 90% (ver la tabla de probabilidades). Luego:

E=1.645\cdot\sqrt{\dfrac{0.75\cdot(1-0.75)}{25}}=0.14

El intervalo de confianza es:

(0.75-0.14,0.75+0.14)=\boxed{(0.61,0.89)}

Para un nivel de confianza del 90%, se estima que entre el 61% y el 89% de los estudiantes afirma querer realizar estudios universitarios.


b) Se trata de una distribución binomial B(n,p)\rightarrow N(\mu,\sigma) con

\bullet~p=\frac8{10}=0.8\\\bullet~\mu=np=100\cdot0.8=80\\\bullet~\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{100\cdot0.8\cdot(1-0.8)}=4

El 65% de 100 estudiantes son 65 estudiantes. Nos piden la probabilidad de que más de 65 estudiantes quieran realizar estudios universitarios. Teniendo en cuenta la corrección por continuidad:

P[X>65]=P\left[z>\dfrac{65.5-80}4\right]=P[z>-3.625]=P[z\leq3.625]

Según la tabla de probabilidades y haciendo interpolación lineal:

P[z\leq3.625]=\boxed{0.999855}

Es la probabilidad de que más del 65% de los estudiantes quieran realizar estudios universitarios.

 

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s