Problema 906

Dada la función f(x)=x^3-3x^2+2x:

a) Calcula la primitiva F de f verificando que F(2)=1.
b) Estudia el crecimiento y decrecimiento y representa gráficamente la función f.
c) Calcula el área limitada por la curva de f y el eje x entre x=0 y x=2.


Solución:

a) Recordar la tabla de integrales:

\displaystyle F(x)=\int x^3-3x^2+2x~dx=\dfrac{x^4}4-\dfrac{3x^3}3+\dfrac{2x^2}2+k\\\\F(x)=\dfrac{x^4}4-x^3+x^2+k

Sabemos que F(2)=1, luego:

F(2)=\dfrac{2^4}4-2^3+2^2+k=4-8+4+k=k

de donde k=1, y:

\boxed{F(x)=\dfrac{x^4}4-x^3+x^2+1}


b) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=3x^2-6x+2=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=\frac{3\pm\sqrt3}3, o en su forma aproximada x_1=0.422,~x_2=1.57.

Con los puntos críticos y teniendo en cuenta que el dominio de f es \mathbb R, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0.422)&(0.422,1.57)&(1.57,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en (-\infty,0.422)\cup(1.57,+\infty)
  • Decrece en (0.422,1.57)

Hay un máximo en el punto (0.422,f(0.422))=(0.422,0.385) y un mínimo en el punto (1.57,f(1.57))=(1.57,-0.385).

Para la representación gráfica vamos a calcular también los puntos de corte con el eje x:

0=x^3-3x^2+2x~;\\\\0=x(x^2-3x+2)

Ecuación cuyas soluciones x=0, x=1, x=2, luego, f corta al eje x en los puntos (0,0), (1,0) y (2,0).

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo de f semejante a la siguiente gráfica:

p906


c) Nos piden calcular el área limitada por la función y el eje x entre los valores x=0 y x=2. Aprovechamos que en el apartado a) hemos calculado la primitiva de f:

\displaystyle S=\int_0^1x^3-3x^2+2x~dx+\int_1^2-x^3+3x^2-2x~dx=\\\\=\left[\dfrac{x^4}4-x^3+x^2\right]_0^1+\left[\dfrac{-x^4}4+x^3-x^2\right]_1^2=\\\\=\left(\dfrac{1^4}4-1^3+1^2\right)-(0)+\left(\dfrac{-2^4}4+2^3-2^2\right)-\left(\dfrac{-1^4}4+1^3-1^2\right)=\\\\=\boxed{\dfrac12\text{ u.a.}}

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