Problema 907

El peso (en gramos) de las empanadas que salen de un horno sigue una distribución normal cuya desviación típica es de 120 gramos. Se establece el intervalo (1499.9,1539.1) como intervalo de confianza para la media a partir de una muestra de 144 empanadas.

a) ¿Cuál es el valor de la media muestral? ¿Con qué nivel de confianza se ha construido el intervalo?
b) ¿Cuántas empanadas, como mínimo, deberíamos pesar para que el nivel de confianza del intervalo anterior fuera del 99%?


Solución:

a) A partir del intervalo de confianza (a,b), el valor de la media muestral es:

\overline x=\dfrac{a+b}2

y el error máximo es:

E=\dfrac{b-a}2

Para el intervalo de confianza (1499.9,1539.1) tenemos:

\bullet~\overline x=\dfrac{1499.9+1539.1}2=\boxed{1519.5}\\\\\bullet~E=\dfrac{1539.1-1499.9}2=19.6

Dado que el error máximo es:

\boxed{E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}}\qquad(1)

con σ=120 y n=144, tenemos que:

z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt n}{\sigma}=\dfrac{19.6\cdot\sqrt{144}}{120}=1.96

Según la tabla de probabilidades, para z_{\alpha/2}=1.96 tenemos la probabilidad p=0.975. Dado que el nivel de confianza NC es NC=2p-1, entonces:

NC=2\cdot0.975-1=0.95

Es decir, el nivel de confianza es del 95%.


b) Dado que es el mismo intervalo de confianza, tenemos el mismo error máximo, E=19.6.
Para un nivel de confianza del 99% tenemos z_{\alpha/2}=2.575, luego, utilizando la fórmula (1):

\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}E\right)^2=\left(\dfrac{2.575\cdot120}{19.6}\right)^2=248.5

Luego, debemos pesar al menos 249 empanadas.

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