Problema 909

Una pastelería hace con harina y crema dos tipos de bizcocho: blando y duro. Se dispone de 160 kilogramos de harina y 100 kilogramos de crema. Para fabricar un bizcocho blando se necesita 250 gramos de harina y 250 gramos de crema, y para fabricar un bizcocho duro se necesita 400 gramos de harina y 100 gramos de crema. Además, el número de bizcochos blandos fabricados debe exceder al menos en 100 unidades al número de bizcochos duros. Si los bizcochos blandos se venden a 6€ y los duros a 4.5€,

a) Formula un problema que controle la fabricación de bizcochos maximizando el ingreso por ventas.
b) Representa la región factible.
c) ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada tipo para maximizar dichas ventas? ¿A cuánto ascienden?


Solución:

a) Sea x el número de bizcochos blandos y sea y el número de bizcochos duros.
Se dispone de 160.000 gramos de harina:

250x+400y\leq160.000\rightarrow5x+8y\leq3200

Se dispone de 100.000 gramos de crema:

250x+100y\leq100.000\rightarrow5x+2y\leq2000

El número de bizcochos blandos debe exceder al menos en 100 unidades al número de bizcochos duros:

x\geq100+y

Junto con las restricciones por positividad, escribimos las restricciones en el siguiente sistema de inecuaciones de manera simplificada:

\left\{\begin{array}{l}5x+8y\leq3200\\5x+2y\leq2000\\x\geq100+y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

La función ingresos a maximizar es:

I(x,y)=6x+4.5y


b) A partir de el sistema de inecuaciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}5x+8y=3200\\5x+2y=2000\\x=100+y\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p909

La región sombreada es la región factible, el lugar de los puntos que verifican todas las restricciones.


c) Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas formados por las ecuaciones de las rectas que se cortan en dicho vértice:

\begin{array}{ll}A:~\left\{\begin{array}{l}x=100+y\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow A=(100,0)\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=100+y\\5x+8y=3200\end{array}\right.&\rightarrow B=(307.7,207.7)\\C:~\left\{\begin{array}{l}5x+2y=2000\\5x+8y=3200\end{array}\right.&\rightarrow C=(320,200)\\D:~\left\{\begin{array}{l}5x+2y=2000\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(400,0)\end{array}

Evaluamos la función ingresos I(x,y)=6x+4.5y en cada vértice:

\bullet~A\rightarrow I(100,0)=6\cdot100+4.5\cdot0=600\\\bullet~B\rightarrow I(307.7,207.7)=2780.85\\\bullet~C\rightarrow I(320,200)=2820\\\bullet~D\rightarrow I(400,0)=2400

Luego, el máximo beneficio es de 2820€ que se obtiene fabricando 320 bizcochos blandos y 200 bizcochos duros.

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