Problema 910

El salario diario de un mozo durante los cinco primeros años en determinada empresa se ajusta a la siguiente función, donde t representa al tiempo, en años, que lleva contratado:

S(t)=\left\{\begin{array}{ccc}35&\text{si}&0\leq t<1\\25+10t&\text{si}&1\leq t<2\\-0.5t^2+4t+39&\text{si}&2\leq t\leq 5\end{array}\right.

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función salario y represéntela.
b) ¿En qué momento tuvo un salario máximo? ¿Y mínimo? Calcula dichos salarios.


Solución:

a) La función S es una función a trozos formada por tres funciones elementales:

  • S=35 es una función afín cuya gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0,35).
  • S=25+10t es otra función afín cuya gráfica es una recta creciente de pendiente 10 que pasa por los puntos (1,35) y (2,45).
  • S=-0.5t^2+4t+39 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo vértice está en x_v=\frac{-4}{-2\cdot0.5}=4 y su valor es S(4)=47, y que pasa también por los puntos (2,45) y (5,46.5).

Como resultado de lo dicho anteriormente, se trata de una función continua en (0,5), es creciente en el intervalo (1,4) y decreciente en (4,5).

Pero vamos estudiar la monotonía de S utilizando la derivada (recordar la tabla de derivadas):

S'(t)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\text{si}&0<t<1\\10&\text{si}&1<t<2\\-t+4&\text{si}&2<t<5\end{array}\right.

Existe un punto crítico en:

-t+4=0\rightarrow t=4

Estudiamos la monotonía de S en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline t&(0,1)&(1,2)&(2,4)&(4,5)\\\hline\mbox{Signo }S'(t)&0&+&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }S(t)&\mbox{Hor}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Según la tabla de monotonía:

  • S es creciente en (1,4).
  • S es decreciente en (4,5).
  • S presenta un máximo en el punto (4,47).

El esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente figura:

p910


b) El salario máximo se obtuvo cuando cumplió 4 años en la empresa y ascendió a 47 euros. El salario mínimo se obtuvo durante el primer año siendo de 35 euros diarios.

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