El salario diario de un mozo durante los cinco primeros años en determinada empresa se ajusta a la siguiente función, donde t representa al tiempo, en años, que lleva contratado:
a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función salario y represéntela.
b) ¿En qué momento tuvo un salario máximo? ¿Y mínimo? Calcula dichos salarios.
Solución:
a) La función S es una función a trozos formada por tres funciones elementales:
es una función afín cuya gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0,35).
es otra función afín cuya gráfica es una recta creciente de pendiente 10 que pasa por los puntos (1,35) y (2,45).
es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava cuyo vértice está en
y su valor es
, y que pasa también por los puntos (2,45) y (5,46.5).
Como resultado de lo dicho anteriormente, se trata de una función continua en (0,5), es creciente en el intervalo (1,4) y decreciente en (4,5).
Pero vamos estudiar la monotonía de S utilizando la derivada (recordar la tabla de derivadas):
Existe un punto crítico en:
Estudiamos la monotonía de S en la siguiente tabla:
Según la tabla de monotonía:
- S es creciente en (1,4).
- S es decreciente en (4,5).
- S presenta un máximo en el punto (4,47).
El esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente figura:
b) El salario máximo se obtuvo cuando cumplió 4 años en la empresa y ascendió a 47 euros. El salario mínimo se obtuvo durante el primer año siendo de 35 euros diarios.
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