Problema 912

Un consumidor cree que el peso medio de un producto es distinto del que indica el envase. Para estudiar este hecho, el consumidor toma una muestra aleatoria simple de 100 productos en el que se observa un peso medio de 245 g. Supone además que el peso del producto por envase sigue una distribución normal con desviación típica de 9 g.

a) Construye un intervalo de confianza para el peso medio de ese producto con un 95% de nivel de confianza.
b) ¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el verdadero peso medio a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 2 g y un nivel de confianza del 90%?


Solución:

a) El intervalo de confianza para la media tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

donde el error máximo E es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Sabemos que n=100, σ=9 y \overline x=245, para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96 según se explica aquí. El error es:

E=1.96\cdot\dfrac9{\sqrt{100}}=1.76

y el intervalo de confianza es:

(245-1.76,245+1.76)=\boxed{(243.24,246.76)}


b) El tamaño muestral n es:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Sabemos que σ=9, E=2 y z_{\alpha/2}=1.645 para un nivel de confianza del 90%, luego:

n=\left(1.645\cdot\dfrac92\right)^2=54.8

Luego, la muestra ha de estar formada por al menos 55 productos.

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