Problema 913

Las ventas de tres productos P1, P2 y P3, relacionadas entre si, da lugar al siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=6\\x+y-z&=0\\2x-y+z&=3\end{array}\right.

siendo x, y, z las ventas de los productos P1, P2 y P3 respectivamente.

a) Expresa el sistema en forma matricial AX=B.
b) Calcula la matriz inversa de A, siendo A la matriz cuadrada de orden 3 de los coeficientes.
c) Calcula las ventas x, y, z para esos tres productos.


Solcuión:

a) El sistema en forma matricial resulta:

\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}


b) Para calcular la matriz inversa de A utilizamos el método de Gauss-Jordan:

\begin{pmatrix}1&1&1&|&1&0&0\\1&1&-1&|&0&1&0\\2&-1&1&|&0&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_2-F_1\rightarrow F_2\\F_3-2F_1\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&|&1&0&0\\0&0&-2&|&-1&1&0\\0&-3&-1&|&-2&0&1\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_2\leftrightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&|&1&0&0\\0&-3&-1&|&-2&0&1\\0&0&-2&|&-1&1&0\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}2F_1+F_3\rightarrow F_1\\2F_2-F_3\rightarrow F_2\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&2&0&|&1&1&0\\0&-6&0&|&-3&-1&2\\0&0&-2&|&-1&1&0\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_1+F_2\rightarrow F_1\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}6&0&0&|&0&2&2\\0&-6&0&|&-3&-1&2\\0&0&-2&|&-1&1&0\end{pmatrix}\rightarrow\left[\begin{array}{c}F_1/6\rightarrow F_1\\F_2/(-6)\rightarrow F_2\\F_3/(-2)\rightarrow F_3\end{array}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&|&0&\frac13&\frac13\\0&1&0&|&\frac12&\frac16&\frac{-1}3\\0&0&1&|&\frac12&\frac{-1}2&0\end{pmatrix}

La matriz inversa de A es:

A^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac13&\frac13\\\frac12&\frac16&\frac{-1}3\\\frac12&\frac{-1}2&0\end{pmatrix}

Sacando factor común quedaría:

A^{-1}=\dfrac16\cdot\begin{pmatrix}0&2&2\\3&1&-2\\3&-3&0\end{pmatrix}


c) Del sistema en forma matricial, la matriz X representa las ventas de los tres productos:

AX=B\rightarrow X=A^{-1}B

Luego:

X=\dfrac16\cdot\begin{pmatrix}0&2&2\\3&1&-2\\3&-3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}=\dfrac16\cdot\begin{pmatrix}6\\12\\18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

Se vendieron 1 producto P1, 2 productos P2 y 3 productos P3.

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