Problema 914

Un nuevo producto tiene una demanda en miles de unidades que responde aproximadamente a la función N(t)=5+\dfrac{20t}{1+t^2}, con t≥0 en meses.

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la demanda. Calcula la demanda máxima y el momento en el que se alcanza.
b) Evalúa la tendencia a largo plazo y representa la función.
c) Después del máximo, ¿bajaría la demanda de 11.000 unidades? ¿Cuándo?


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de N comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

N'(t)=\dfrac{20(1+t^2)-20t\cdot2t}{(1+t^2)^2}=\dfrac{20+20t^2-40t^2}{(1+t^2)^2}~;\\\\N'(t)=\dfrac{20-20t^2}{(1+t^2)^2}\\\\\dfrac{20-20t^2}{(1+t^2)^2}=0~;\\\\20-20t^2=0~;\\\\t^2=1~;\\\\t=\pm1

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos, estudiamos la monotonía de N en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline t&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }N'(t)&+&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }N(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • N crece en (0,1)
  • N decrece en (1,+∞)
  • Se tiene un máximo para t=1 mes cuya demanda es N(1)=5+\dfrac{20\cdot1}{1+1^2}=5+10=15 en miles de unidades.

b) A largo plazo la función N tiende a:

\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}5+\dfrac{20t}{1+t^2}=5+\dfrac{\infty}{\infty}

indeterminación \frac{\infty}{\infty} que resolvemos dividiendo numerador y denominador por t²:

\displaystyle\lim_{t\rightarrow+\infty}5+\dfrac{20t}{1+t^2}=\lim_{t\rightarrow+\infty}5+\dfrac{\frac{20t}{t^2}}{\frac1{t^2}+\frac{t^2}{t^2}}=\\\\=\lim_{t\rightarrow+\infty}5+\dfrac{\frac{20}t}{\frac1{t^2}+1}=5+\dfrac01=5

A largo plazo la demanda tiende a 5000 unidades.

Con los datos obtenidos y sabiendo que para t=0 se tiene N=5, se puede hacer un esbozo de N(t) semejante a la siguiente gráfica:

p914


c) Calculamos t para el que N=11:

11=5+\dfrac{20t}{1+t^2}~;\\\\6=\dfrac{20t}{1+t^2}~;\\\\6(1+t^2)=20t~;\\\\6t^2-20+t=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=\frac13 y t=3.
El momento donde se obtiene una demanda de 11.000 unidades después del máximo es a los 3 meses.

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