Problema 916

En un estanque se desea estimar el número de peces dorados. Para eso, se toma una muestra aleatoria de 700 peces y se encuentra que 70 de ellos son dorados.

a) Hallar, con un nivel de confianza del 99%, un intervalo para estimar la proporción de peces dorados en el estanque.
b) En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación?
c) Considerando dicha muestra, ¿que le ocurriría al error de estimación si aumentase el nivel de confianza? Justifica la respuesta.


Solución:

a) Nos piden el intervalo de confianza para la proporción:

(p-E,p+e)

siendo p=\frac{70}{700}=0.1. El error para estimar la proporción es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

siendo n=700, y z_{\alpha/2}=2.575 según la tabla de probabilidades.
Luego, el error vale:

E=2.575\cdot\sqrt{\dfrac{0.1(1-0.1)}{700}}=0.029

El intervalo de confianza es:

(0.1-0.029,0.1+0.029)=\boxed{(0.071,0.129)}

Con un nivel de confianza del 99% se estima que entre el 7.1% y el 12.9% de los peces son dorados.


b) El error de estimación es 0.029 como se vio en el apartado anterior.


c) Cuando aumenta el nivel de confianza aumenta también el nivel de z_{\alpha/2}, y como al aumentar el valor de z_{\alpha/2} aumenta el error de estimación, entonces, al aumentar el nivel de confianza aumentaría el error de estimación.

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