Problema 917

Un centro comercial tiene en existencias 750 reproductores de DVD en el almacén A y otros 600 en el almacén B. Si se quiere tener al menos 900 reproductores en la tienda y que los del almacén A no excedan el triple de los del almacén B:

a) Formula el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían enviar 400 unidades desde cada almacén?
b) Si los costes unitarios de envío son 0.30 euros por unidad para el almacén A y 0.25 euros por unidad para el almacén B, ¿cuántas se deben enviar desde cada almacén para minimizar el coste de transporte? ¿A cuánto ascendería dicho coste?


Solución:

a) Sea x el número de reproductores del almacén A, e y el número de reproductores del almacén B.
Se quiere tener al menos 900 reproductores:

x+y\geq900

Los del almacén A no debe exceder el triple de los del almacén B:

x\leq3y

En el almacén A hay 750 reproductores:

x\leq750

y en el almacén B hay 600 reproductores:

y\leq600

Estas restricciones nos da el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\geq900\\x\leq3y\\x\leq750\\y\leq600\end{array}\right.

A partir de las restricciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}x+y=900\\x=3y\\x=750\\y=600\end{array}\right.

p917

La región sombreada es la región factible formada por los puntos que verifican todas las restricciones.

Enviar a la tienda 400 reproductores del almacén A y 400 reproductores del almacén B, no cumpliría la primera de las restricciones.


b) El coste total f por enviar los reproductores a la tienda desde los almacenes A y B es:

f(x,y)=0.3x+0.25y

El coste mínimo corresponde a alguno de los vértices que tiene la región factible. Calculamos dichos vértices resolviendo los sistemas formados por las ecuaciones de las rectas que forman esos vértices:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=600\\x+y=900\end{array}\right.&\rightarrow A=(300,600)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}y=600\\x=750\end{array}\right.&\rightarrow B=(750,600)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3y\\x=750\end{array}\right.&\rightarrow C=(750,250)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3y\\x+y=900\end{array}\right.&\rightarrow C=(675,225)\end{array}

Evaluamos la función coste en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(300,600)=0.3\cdot300+0.25\cdot600=240\\B\rightarrow f(750,600)=375\\C\rightarrow f(750,250)=287.5\\D\rightarrow f(675,225)=258.75

Luego, el coste mínimo se obtiene llevando 300 unidades desde el almacén A y 600 unidades desde el almacén B. El coste sería de 240€.

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