Problema 918

Un gimnasio abre al público a principios de 2008, la función

G(t)=\left\{\begin{array}{ccc}10(5t-t^2)&\text{si}&0\leq t\leq4\\80-10t&\text{si}&4<t\leq10\end{array}\right.

indica como evolucionaron sus ganancias (en miles de euros) en función del tiempo t (en años) transcurrido desde su apertura, correspondiendo t=0 al principio de 2008.

a) Estudia en qué periodo se produce un aumento y en qué se produce una disminución de sus ganancias.
b) ¿A cuánto ascendieron las ganancias máximas? ¿En qué año se obtuvieron?
c) Representa la gráfica de la función G. ¿En algún año después de su apertura no se obtuvieron ganancias? ¿A partir de algún año dejó de ser rentable el gimnasio? ¿Cuándo?


Solución:

a) Nos piden estudiar la monotonía de la función G. Comenzamos calculando su derivada (recordar la tabla de derivadas):

G'(t)=\left\{\begin{array}{ccc}10(5-2t)&\text{si}&0<t<4\\-10&\text{si}&4<t<10\end{array}\right.

Los puntos críticos de G son:

  • 10(5-2t)=0\rightarrow t=2.5
  • -10=0!!!

Con este único punto crítico y teniendo en cuenta el dominio, estudiamos la monotonía de G en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t&(0,2.5)&(2.5,4)&(4,10)\\\hline\mbox{Signo }G'(t)&+&-&-\\\hline \mbox{Monoton\'ia }G(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Aumentan las ganancias en el intervalor t\in(0,2.5) en años, y disminuyen las ganancias en el intervalo t\in(2.5,4)\cup(4,10) en años.


b) A la vista de la tabla de monotonía, se observa un máximo en la función ganancias para t=2.5 años. En ese momento las ganancias son:

G(2.5)=62.5

es decir, 62500 euros.


c) La función ganancias G es una función a trozos formada por G_1=10(5t-t^2) que es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava con vértice en (2.5,62.5) y que pasa por los puntos (0,0) y (4,40).
El otro trozo, G_2=80-10t corresponde a una función afín cuya gráfica es una recta decreciente que pasa por los puntos (4,40) y (10,-20).

Con estos datos podemos hacer un esbozo de la gráfica semejante a la siguiente figura:

p918

No se obtuvieron ganancias cuando estas valen 0:

  • Para t\in[0,4]:
    10(5t-t^2)=0\\10t(5-t)=0\rightarrow t=0,~t=5
    t=5 no es un resultado válido pues no pertenece al intervalo [0,4].
  • Para t\in(4,10]:
    80-10t=0\rightarrow t=8

Luego, no se obtuvieron ganancias en t=0 y t=8 años. A partir de t=8 años y hasta t=10 años, las ganancias son negativas y por tanto, el negocio no es rentable.

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