Problema 919

📖Probabilidad CCSS, Selectividad Mat CCSSProbabilidad, Probabilidad total, Sucesos independientes, Teorema de Bayesdurán

En una población, de cada 200 consumidores de una bebida isotónica, 60 consumen la marca A, 50 la marca B y el resto la marca C. Además, el 30% de los consumidores de A, el 20% de los consumidores de B y el 40% de los consumidores de C son jóvenes.

a) Si se selecciona al azar un consumidor de dicha bebida en esa población, ¿cuál es la probabilidad de que sea joven?
b) Si se selecciona a un joven, halla la probabilidad de que consuma la marca B.
c) ¿Son independientes los sucesos “ser joven” y “consumir la marca A”?

Solución:

Sea A el suceso “ser consumidor de la marca A”, sea B el suceso “ser consumidor de la marca B”, sea C el suceso “ser consumidor de la marca C” y sea J el suceso “ser joven”.
En el enunciado nos dan las siguientes probabilidades:

$P[A]=\frac{60}{200}=0.3$
$P[B]=\frac{50}{200}=0.25$
$P[C]=\frac{200-60-50}{200}=0.45$
$P[J/A]=0.30$
$P[J/B]=0.20$
$P[J/C]=0.40$

Con estos datos podemos completar el siguiente diagrama de árbol:

p919

a) Nos piden la probabilidad total $P[J]$ :

$P[J]=P[A]\cdot P[J/A]+P[B]\cdot P[J/B]+P[C]\cdot P[J/C]=\\\\=0.3\cdot0.3+0.25\cdot0.2+0.45\cdot0.4=\boxed{0.32}$

b) Nos piden la probabilidad $P[B/J]$ . Utilizamos para ello el teorema de Bayes:

$P[B/J]=\dfrac{P[B]\cdot P[J/B]}{P[J]}=\dfrac{0.25\cdot0.2}{0.32}=\boxed{0.156}$

c) Si J y A son sucesos independientes entonces ha de cumplirse:

$P[J]\cdot P[A]=P[J\cap A]$

Veamos si se cumple:

$P[J]\cdot P[A]=0.32\cdot0.3=0.096$
$P[J\cap A]=P[A]\cdot P[J/A]=0.3\cdot0.3=0.09$

Al no ser iguales estos resultados, los sucesos J y A no son independientes.

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