Problema 919

En una población, de cada 200 consumidores de una bebida isotónica, 60 consumen la marca A, 50 la marca B y el resto la marca C. Además, el 30% de los consumidores de A, el 20% de los consumidores de B y el 40% de los consumidores de C son jóvenes.

a) Si se selecciona al azar un consumidor de dicha bebida en esa población, ¿cuál es la probabilidad de que sea joven?
b) Si se selecciona a un joven, halla la probabilidad de que consuma la marca B.
c) ¿Son independientes los sucesos «ser joven» y «consumir la marca A»?


Solución:

Sea A el suceso «ser consumidor de la marca A», sea B el suceso «ser consumidor de la marca B», sea C el suceso «ser consumidor de la marca C» y sea J el suceso «ser joven».
En el enunciado nos dan las siguientes probabilidades:

  • P[A]=\frac{60}{200}=0.3
  • P[B]=\frac{50}{200}=0.25
  • P[C]=\frac{200-60-50}{200}=0.45
  • P[J/A]=0.30
  • P[J/B]=0.20
  • P[J/C]=0.40

Con estos datos podemos completar el siguiente diagrama de árbol:

p919

a) Nos piden la probabilidad total P[J]:

P[J]=P[A]\cdot P[J/A]+P[B]\cdot P[J/B]+P[C]\cdot P[J/C]=\\\\=0.3\cdot0.3+0.25\cdot0.2+0.45\cdot0.4=\boxed{0.32}


b) Nos piden la probabilidad P[B/J]. Utilizamos para ello el teorema de Bayes:

P[B/J]=\dfrac{P[B]\cdot P[J/B]}{P[J]}=\dfrac{0.25\cdot0.2}{0.32}=\boxed{0.156}


c) Si J y A son sucesos independientes entonces ha de cumplirse:

P[J]\cdot P[A]=P[J\cap A]

Veamos si se cumple:

  • P[J]\cdot P[A]=0.32\cdot0.3=0.096
  • P[J\cap A]=P[A]\cdot P[J/A]=0.3\cdot0.3=0.09

Al no ser iguales estos resultados, los sucesos J y A no son independientes.

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