Problema 920

En una empresa se quiere racionalizar el gasto en teléfono móvil de sus agentes comerciales. Para ello hacen un estudio sobre una muestra de dichos agentes y se obtiene: «con una confianza del 95%, la media de gasto mensual en teléfono móvil está entre 199.71 y 220.29 euros». Suponiendo que el gasto en teléfono móvil es una variable normal

a) Calcula el gasto medio muestral y el error cometido en la estimación.
b) Si la desviación típica es de 42 euros, ¿qué tamaño tiene la muestra?


Solución:

a) Dado el intervalo de confianza (a,b) tenemos que el valor medio muestral y el error es:

\bullet~\overline x=\dfrac{a+b}2\\\bullet~E=\dfrac{b-a}2

En nuestro caso a=199.71 y b=220.29 luego:

\bullet~\overline x=\dfrac{199.71+220.29}2=210\\\bullet~E=\dfrac{220.29-199.71}2=10.29


b) El valor del tamaño muestral es:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Para un nivel de confianza del 95% tenemos un valor de z_{\alpha/2}=1.96 como se explica aquí, y dado que la desviación típica σ=42 y el error es E=10.29, tenemos:

n=\left(1.96\cdot\dfrac{42}{10.29}\right)^2=64

La muestra debe tener al menos 64 medidas.

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