Problema 921

Consideremos las matrices

A=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\1&1&2\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}2&0&-1\\2&3&2\\0&2&2\end{pmatrix},~C=\begin{pmatrix}-2&3\\1&-1\end{pmatrix}

a) Calcula los valores de x e y para los que se cumple la igualdad C\cdot\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x\\y&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}.
b) Determina el rango de las matrices A y B.
c) Calcula X de la ecuación matricial X+A^t=2I+B.


Solución:

a) Por un lado tenemos:

C\cdot\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x-3y\\x+y\end{pmatrix}

Por otro lado tenemos:

\begin{pmatrix}1&x\\y&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+x\\-y-1\end{pmatrix}

Igualando los dos resultados obtenemos el sistema:

\begin{pmatrix}-2x-3y\\x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+x\\-y-1\end{pmatrix}

\left\{\begin{array}{l}-2x-3y=-1+x\\x+y=-y-1\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}-3x-3y=-1\\x+2y=-1\end{array}\right.

Multiplicando la segunda ecuación por 3:

\left\{\begin{array}{l}-3x-3y=-1\\3x+6y=-3\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones obtenemos:

3y=-4

de donde y=\frac{-4}3. Y dado que x+2y=-1, entonces:

x=-1-2\cdot\dfrac{-4}3=\dfrac53

En resumen, x=\frac53,~y=\frac{-4}3.


b) Para calcular el rango de las matrices cuadradas, las triangulamos por el método de Gauss. Empezamos por la matriz A:

\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\1&1&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-F_1\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&2&6\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-2F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&16\end{pmatrix}

El rango de A es igual al de la matriz triangular resultante. El rango de esta matriz es 3 ya que todos los elementos de la diagonal principal son distintos de 0.

Procedemos igual con la matriz B:

\begin{pmatrix}2&0&-1\\2&3&2\\0&2&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_2-F_1\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&3&3\\0&2&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-2F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&3&3\\0&0&0\end{pmatrix}

El rango de B es igual al de la matriz triangular resultante. El rango de la matriz triangular resultante es 2 ya que 2 elementos de la diagonal principal son distintos de 0.

En resumen, rg(A)=3 y rg(B)=2.


c) De la ecuación matricial X+A^t=2I+B obtenemos:

X=2I+B-A^t~;\\\\X=2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0&-1\\2&3&2\\0&2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&0&1\\1&3&1\\0&1&2\end{pmatrix}~;\\\\X=\begin{pmatrix}1&0&-2\\1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}

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