Consideremos las matrices
a) Calcula los valores de x e y para los que se cumple la igualdad 
b) Determina el rango de las matrices A y B.
c) Calcula X de la ecuación matricial 
Solución:
a) Por un lado tenemos:
Por otro lado tenemos:
Igualando los dos resultados obtenemos el sistema:
Multiplicando la segunda ecuación por 3:
Sumando ambas ecuaciones obtenemos:
de donde 
En resumen, 
b) Para calcular el rango de las matrices cuadradas, las triangulamos por el método de Gauss. Empezamos por la matriz A:
![\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\1&1&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-F_1\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&2&6\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-2F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&16\end{pmatrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D3%261%260%5C%5C0%263%261%5C%5C1%261%262%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5B3F_3-F_1%5Crightarrow+F_3%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D3%261%260%5C%5C0%263%261%5C%5C0%262%266%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5B3F_3-2F_2%5Crightarrow+F_3%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D3%261%260%5C%5C0%263%261%5C%5C0%260%2616%5Cend%7Bpmatrix%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\1&1&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-F_1\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&2&6\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-2F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&16\end{pmatrix}")
El rango de A es igual al de la matriz triangular resultante. El rango de esta matriz es 3 ya que todos los elementos de la diagonal principal son distintos de 0.
Procedemos igual con la matriz B:
![\begin{pmatrix}2&0&-1\\2&3&2\\0&2&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_2-F_1\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&3&3\\0&2&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-2F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&3&3\\0&0&0\end{pmatrix}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D2%260%26-1%5C%5C2%263%262%5C%5C0%262%262%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5BF_2-F_1%5Crightarrow+F_2%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D2%260%26-1%5C%5C0%263%263%5C%5C0%262%262%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Crightarrow%5CBig%5B3F_3-2F_2%5Crightarrow+F_3%5CBig%5D%5Crightarrow%5C%5C%5C%5C%5Crightarrow%5Cbegin%7Bpmatrix%7D2%260%26-1%5C%5C0%263%263%5C%5C0%260%260%5Cend%7Bpmatrix%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\begin{pmatrix}2&0&-1\\2&3&2\\0&2&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[F_2-F_1\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&3&3\\0&2&2\end{pmatrix}\rightarrow\Big[3F_3-2F_2\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&3&3\\0&0&0\end{pmatrix}")
El rango de B es igual al de la matriz triangular resultante. El rango de la matriz triangular resultante es 2 ya que 2 elementos de la diagonal principal son distintos de 0.
En resumen, rg(A)=3 y rg(B)=2.
c) De la ecuación matricial
♦
