Problema 922

El número de miles de unidades vendidas por una empresa del sector editorial durante su primer año de existencia, se estima por la función

V(t)=\left\{\begin{array}{ccc}12t-t^2&\text{si}&0\leq t\leq7\\t^2-18t+112&\text{si}&7<t\leq12\end{array}\right.

donde t es el tiempo transcurrido en meses desde la creación de la empresa.

a) En los primero siete meses, calcula las ventas máximas y el mes donde se alcanzaron. Justifica si estas fueron las máximas ventas alcanzadas por la empresa ese año. Representa la gráfica de V(t).
b) A partir del séptimo mes, ¿en qué periodo el número de ventas fue menor o igual a 32000 unidades?


Solución:

a) En los primeros siete meses la función ventas es V_1(t)=12t-t^2. Calculamos sus puntos críticos dentro del intervalo (0,7):

V_1'(t)=12-2t=0~;\\\\t=6

Caracterizamos este punto crítico utilizando el test de la derivada segunda:

V_1''(t)=-2~;\\\\V_1''(6)=-2<0

Luego para t=6 meses se obtiene el máximo de ventas siendo estas de:

V(6)=12\cdot6-6^2=36 en miles de unidades.

Nos piden representar la función V(t). Esta función es una función a trozos formada por dos funciones cuadráticas.

  • V_1(t)=12t-t^2 gráficamente es una parábola cóncava que pasa por los puntos (0,0) y (7,35). El vértice de la parábola está en x_v=\frac{-12}{-2}=6, en el punto (6,36).
  • V_2(t)=t^2-18t+112 es una parábola convexa que pasa por los puntos (7,35) y (12,40). El vértice de esta parábola está en x_v=\frac{18}2=9, en el punto (9,31).

Con estos datos, el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente figura:

p922


b) A partir del séptimo mes V(t)=t^2-18t+112. Su valor es 32 en:

t^2-18t+112=32~;\\\\t^2-18t+80=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son t=8 y t=10. Luego, en el intervalo [8,10] meses las ventas fueron menores o iguales a 32000 unidades.

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