Problema 924

Una empresa informática lanzó al mercado un producto del que se sabe que su vida útil, en años, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ=1.6 años.

a) Para una muestra aleatoria de 100 productos, la vida media útil fue de 4.6 años. Calcula un intervalo de confianza con un nivel del 95% para estimar la vida media útil del producto. Interpreta el intervalo obtenido.
b) Supongamos que la vida útil del producto sigue una distribución N(4.6,1.6), y se toma una muestra aleatoria de 64 productos. Calcula la probabilidad de que la vida media útil de la muestra esté entre 4.25 y 4.95 años.


Solución:

a) Para una muestra con n=100 tenemos una vida media de \overline x=4.6.
El intervalo de confianza tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Como se explica aquí, para un nivel de confianza del 95% tenemos que z_{\alpha/2}=1.96, luego:

E=1.96\cdot\dfrac{1.6}{\sqrt{100}}=0.31

Y el intervalo de confianza es:

(4.6-0.31,4.6+0.31)=\boxed{(4.29,4.91)}


b) La vida media útil del producto sigue una distribución N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)=N(4.6,0.2).
Nos piden la probabilidad P[4.25<\overline x<4.95]. Tipificamos estos extremos:

\bullet~z_1=\dfrac{4.25-4.6}{0.2}=-1.75\\\\\bullet~z_2=\dfrac{4.95-4.6}{0.2}=1.75

Luego:

P[4.25<\overline x<4.95]=P[-1.75<z<1.75]=\\\\=P[z<1.75]-P[z<-1.75]=P[z<1.75]-(1-P[z<1.75])=\\\\=2P[z<1.75]-1

Buscando en la tabla de probabilidades tenemos que P[z<1.75]=0.9599, luego:

P[4.25<\overline x<4.95]=2\cdot0.9599-1=\boxed{0.9198}

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