Problema 925

Sea la función lineal f(x,y)=2x-3y y sean las restricciones

\left\{\begin{array}{l}x+2y\leq40\\x+y\geq5\\3x+y\leq45\\x\geq0\end{array}\right.

a)  Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.
b) Calcula el punto o puntos de esa región donde la función alcanza su valor máximo y su valor mínimo.


Solución:

a) A partir de las restricciones escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}x+2y=40\\x+y=5\\3x+y=45\\x=0\end{array}\right.

p925

La región sombreada es la región factible, es el lugar geométrico de los puntos que verifican todas las restricciones.

Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas formados por las rectas que coinciden en dichos vértices:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+y=5\end{array}\right.\rightarrow A=(0,5)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\x+2y=40\end{array}\right.\rightarrow B=(0,20)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+y=45\\x+2y=40\end{array}\right.\rightarrow C=(10,15)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+y=45\\x+y=5\end{array}\right.\rightarrow C=(20,-15)\end{array}


b) Evaluamos la función f(x,y)=2x-3y en cada uno de los vértices:

A\rightarrow f(0,5)=2\cdot0-3\cdot5=-15\\B\rightarrow f(0,20)=-60\\C\rightarrow f(10,15)=-25\\D\rightarrow f(20,-15)=85

El valor máximo se obtiene en el punto D=(20,-15) y el valor mínimo se obtiene en C=(10,15).

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