Problema 926

Los beneficios de una compañía en millones de euros, en sus primeros siete años, fueron estimados por la función B(x)=ax^3-3x^2+bx,~0\leq x\leq7, donde x indica el tiempo transcurrido en años desde su fundación.

a) Calcula los valores de ab sabiendo que la compañía tuvo unos beneficios máximos de 8 millones de euros en el segundo año.
b) Supongamos que a=1/4 y b=9. Determina cuándo la empresa no tuvo beneficios. Calcula \int_0^6B(x)~dx.


Solución:

a) En el segundo año, los beneficios fueron máximos, y dichos beneficios fueron de 8 millones:

  • B'(2)=0
  • B(2)=8

Utilizamos estas dos ecuaciones para calcular a y b:

B'(x)=3ax^2-6x+b~;\\B'(2)=12a-12+b=0\rightarrow12a+b=12\\\\B(2)=8a-12+2b=8\rightarrow8a+2b=20\rightarrow4a+b=10

Resolvemos el sistema:

\left\{\begin{array}{l}12a+b=12\\4a+b=10\end{array}\right.

donde a=\frac14 y b=9.


b) No tuvo beneficios en los valores x tales que B(x)\leq0. Calculamos los ceros de B:

\dfrac14x^3-3x^2+9x=0~;\text{ multiplicamos la ecuaci\'on por 4}\\\\x^3-12x^2+36x=0~;\\\\x(x^2-12x+36)=0~;\\\\x(x-6)^2=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=6.
Estudiamos el signo de B en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,6)&(6,7)\\\hline\mbox{Signo }B(x)&+&+\\\hline \end{array}

Luego, la compañía no obtuvo beneficios en su fundación, x=0 años, y cuando cumplió 6 años.

Por otro lado nos piden la integral (recordar la tabla de integrales):

\displaystyle\int_0^6\dfrac14x^3-3x^2+9x~dx=\left[\dfrac{x^4}{16}-x^3+\dfrac{9x^2}2\right]_0^6=\\\\=\left(\dfrac{6^4}{16}-6^3+\dfrac{324}2\right)-(0)=\boxed{27}

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