Problema 927

Un artículo distribuido en tres marcas distintas A, B y C se venden en un supermercado. Se observa que el 30% de las ventas diarias del artículo son de marca A, el 50% son de marca B y el resto son de marca C. Se sabe además que el 60% de las ventas de la marca A se realizan por la mañana, el 55% de las ventas de la marca B por la tarde y el 40% de la marca C se vende por la mañana.

a) Calcula el porcentaje de ventas del artículo efectuadas por la mañana.
b) Se una venta se efectuó por la tarde, calcula la probabilidad de que el artículo sea de la marca C.


Solución:

Sea A el suceso “ser un artículo de la marca A”, sea B el suceso “ser un artículo de la marca B”, sea C el suceso “ser un artículo de la marca C“, sea M el suceso “haber sido comprado por la mañana” y sea T el suceso “haber sido comprado por la tarde”.
Según el enunciado tenemos las siguientes probabilidades:

  • P[A]=0.30
  • P[B]=0.50
  • P[C]=1-0.3-0.5=0.2
  • P[M/A]=0.60
  • P[T/B]=0.55
  • P[M/C]=0.40

Podemos ayudarnos completando el siguiente diagrama de árbol:

p927

a) Nos piden la probabilidad total P[M]:

P[M]=P[A]\cdot P[M/A]+P[B]\cdot P[M/B]+P[C]\cdot P[M/C]=\\\\=0.3\cdot0.6+0.5\cdot0.45+0.2\cdot0.4=\boxed{0.485}


b) Nos piden la probabilidad P[C/T]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[C/T]=\dfrac{P[C]\cdot P[T/C]}{P[T]}

siendo

\bullet~P[T]=1-P[M]=1-0.485=0.515\\\\\bullet~P[T/C]=1-P[M/C]=1-0.4=0.6

Luego:

P[C/T]=\dfrac{0.2\cdot0.6}{0.515}=0.233

Es decir, el 23.3% de las ventas realizadas por la tarde fueron del artículo C.

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