Problema 929

Sea las matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&a\\0&1&a\end{pmatrix}~B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&b&1\\0&1&0\end{pmatrix}~C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&c&c\end{pmatrix}

a) Calcula los valores de a, b y c para que se satisfaga la igualdad AB+BC=2I.
b) Para a=4, b=-3 y c=1 calcula el rango de la matriz A+B-2C.


Solución:

a) Calculamos por partes:

\bullet~AB=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&a\\0&1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&b&1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2b+a&2\\0&b+a&1\end{pmatrix}\\\bullet~BC=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&b&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&c&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-b+c&b+c\\0&-1&1\end{pmatrix}\\\bullet~AB+BC=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2b+a&2\\0&b+a&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-b+c&b+c\\0&-1&1\end{pmatrix}=\\=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&a+b+c&2+b+c\\0&-1+a+b&2\end{pmatrix}

Igualamos este resultado a 2I=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix} resultando el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}a+b+c=2\\2+b+c=0\\-1+a+b=0\end{array}\right.

Resolvemos este sistema por el método de Gauss-Jordan:

\left\{\begin{array}{rl}a+b+c&=2\\b+c&=-2\\a+b&=1\end{array}\right.\rightarrow\Big[F_3-F_1\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left\{\begin{array}{rl}a+b+c&=2\\b+c&=-2\\-c&=-1\end{array}\right.

De la última ecuación obtenemos c=1, de la segunda ecuación:

b+1=-2\rightarrow b=-3

Y de la primera ecuación obtenemos:

a-3+1=2\rightarrow a=4

En resumen (a,b,c)=(4,-3,1).


b) Para a=4, b=-3 y c=1, la matriz A+B-2C vale:

A+B-2C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&4\\0&1&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-3&1\\0&1&0\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}

El rango de esta matriz triangular es 2 ya que tiene dos elementos distintos de 0 en la diagonal principal y la primera fila es nula.

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