Problema 930

El precio en euros de las acciones de cierto grupo empresarial a lo largo de un año se estima por la función:

P(t)=\left\{\begin{array}{cc}15+2t-t^2&0\leq t\leq3\\\dfrac13t+11&3<t\leq12\end{array}\right.

siendo t el tiempo transcurrido en meses.

a) Determina los periodos en los que aumentó y disminuyó el precio y calcula el precio máximo y el precio mínimo.
b) Determina el periodo en que el precio de las acciones fue inferior o igual a 13.75 euros. Representa la gráfica de la función P(t).


Solución:

a) Estudiamos la monotonía de la función P. Comenzamos calculando su derivada y los puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

P'(t)=\left\{\begin{array}{cc}2-2t&0<t<3\\\dfrac13&3<t<12\end{array}\right.

  • 2-2t=0\rightarrow t=1
  • \dfrac13=0!!!

Teniendo en cuenta el dominio y el único punto crítico, t=1, estudiamos la monotonía de P en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline t&(0,1)&(1,3)&(3,12)\\\hline\mbox{Signo }P'(t)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }P(t)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • P crece en (0,1)\cup(3,12)
  • P decrece en (1,3)

Estudiamos la continuidad en t=3:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow3^+}\dfrac13t+11=12\\\bullet~\lim_{x\rightarrow3^-}15+2t-t^2=12\\\bullet~f(3)=15+2\cdot3-3^2=12

Luego, P es continua en t=3.

Para obtener el máximo y mínimo de la función P calculamos el valor de la función donde cambia la monotonía y en los extremos del dominio:

P(0)=15\\P(1)=16\\P(3)=12\\P(12)=15

Observamos un máximo absoluto en t=1 mes de 16 euros por acción y un mínimo absoluto en t=3 meses de 12 euros por acción.


b) Igualamos la función P a 13.75 y resolvemos:

Teniendo en cuenta los valores obtenidos, t=2.5 y t=8.25, y la monotonía de P, el periodo en que el precio de las acciones fue inferior o igual a 13.25 euros fue:

[2.5,8.25] meses.

Nos piden representar la función:

  • y=15+2t-t^2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que pasa por los puntos (0,15) y (3,12). Tiene un máximo en (1,16).
  • y=\dfrac13t+11 es una función afín cuya gráfica es una recta creciente que pasa por los puntos (3,12) y (12,15).

Con estos datos el esbozo de la gráfica es semejante a la siguiente gráfica:

p930

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s