Problema 931

El 60% de los individuos de una población están vacunados contra cierta enfermedad. Durante una epidemia se sabe que el 20% contrae la enfermedad y que el 3% está vacunado y contrae la enfermedad.

a) Calcula el porcentaje de individuos que contraen la enfermedad, entre los que no están vacunados.
b) Calcula el porcentaje de individuos vacunados, entre los que contrajeron la enfermedad. Justifica si los sucesos “estar vacunado” y “contraer la enfermedad” son dependientes o independientes.


Solución:

Sea V el suceso “estar vacunado” y sea C el suceso “contraer la enfermedad”.

En el enunciado nos dan las probabilidades:

  • P[V]=0.60
  • P[C]=0.20
  • P[V\cap C]=0.03

a) Nos piden la probabilidad P[C/\overline V]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[C/\overline V]=\dfrac{P[C]\cdot P[\overline V/C]}{P[\overline V]}\qquad(1)

siendo P[\overline V]=1-P[V]=1-0.6=0.4.
Sabemos que:

P[\overline V/C]+P[V/C]=1

y

P[V/C]=\dfrac{P[V\cap C]}{P[C]}=\dfrac{0.03}{0.2}=0.15

Luego:

P[\overline V/C]=1-P[V/C]=1-0.15=0.85

Sustituyendo en (1):

P[C/\overline V]=\dfrac{0.2\cdot0.85}{0.4}=0.425

es decir, el 42.5% de los que no están vacunados contraen la enfermedad.


b) Nos piden la probabilidad condicionada P[V/C]:

P[V/C]=\dfrac{P[V\cap C]}{P[C]}=\dfrac{0.03}{0.2}=0.15

El 15% de los que han contraído la enfermedad están vacunados.

Si los sucesos V y C son independientes entonces debe culplirse:

P[V]\cdot P[C]=P[V\cap C]

  • P[V]\cdot P[C]=0.6\cdot0.2=0.12
  • P[V\cap C]=0.03

Estos dos resultados no son iguales luego, V y C no son sucesos independientes.

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