Problema 932

a) En una muestra aleatoria de 200 clientes de un centro comercial, 150 efectúan sus compras utilizando la tarjeta propia del centro. Calcula un intervalo de confianza del 95% para la proporción de clientes que efectúan las compras utilizando la tarjeta propia del centro. Interpreta el intervalo obtenido.

b) Si se sabe que 8 de cada 10 clientes del centro comercial utilizan para sus compras la tarjeta propia del centro y tomamos una muestra aleatoria de 100 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de clientes de la muestra que utiliza la tarjeta propia del centro sea superior a 0.75?


Solución:

a) La probabilidad de que un cliente efectúe compras utilizando la tarjeta del centro es:

p=\dfrac{175}{200}=0.75

Nos piden un intervalo de confianza para la proporción:

(p-E,p+E)

siendo el error para la estimación de la proporción:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

Para un nivel de confianza del 95% tenemos z_{\alpha/2}=1.96 (ver la tabla de probabilidades). Luego:

E=1.96\cdot\sqrt{\dfrac{0.75\cdot(1-0.75)}{200}}=0.06

Y el intervalo de confianza resulta:

(0.75-0.06,0.75+0.06)=\boxed{0.69,0.81)}

Significa que, para un nivel de confianza del 95%, se estima que entre el 69% y el 81% de los clientes efectúan sus compras con la tarjeta del centro.


b) Aproximamos la distribución binomial a la normal: B(n,p)\rightarrow N(\mu,\sigma). Tenemos:

  • n=100
  • p=\dfrac8{10}=0.8
  • \mu=np=80
  • \sigma=\sqrt{np(1-p)}=4

Una proporción de 0.75 sobre una muestra de 100 clientes son 75 clientes. Nos piden la probabilidad de más de 75 clientes de esos 100 utilicen la tarjeta propia del centro. Tenemos en cuenta la corrección por continuidad:

P[X>75]=P\left[z>\dfrac{75.5-80}4\right]=P[z>-1.125]=\\\\=P[z\leq1.125]

Buscamos esta probabilidad en la tabla de probabilidades haciendo interpolación lineal y resulta:

P[z\leq1.125]=\boxed{0.8697}

Es la probabilidad de que una proporción de 0.75 de 100 clientes utilicen la tarjeta.

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