Problema 933

Una fábrica de materiales plásticos produce dos tipos de colectores A y B. Su producción semanal debe de ser al menos 10 colectores en total y el número de colectores de tipo B no puede superar en más de 10 al número del tipo A. Además, cada colector del tipo A tiene un coste de producción de 150€ y cada colector de tipo B de 100€, disponiendo de un máximo de 6000€ semanales para el coste total de producción.

a) Formula el sistema de inecuaciones. Representa la región factible y calcula sus vértices.
b) Si cada colector de tipo A genera unos beneficios de 130€ y el de tipo B de 140€, ¿cuántos colectores de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total sea máximo?


Solución:

a) Sea x el número de colectores tipo A y sea y el número de colectores tipo B producidos.
La producción semanal debe ser al menos 10 colectores en total:

x+y\geq10

El número de colectores tipo B no puede superar en más de 10 al número del tipo A:

y\leq x+10

Se dispone de hasta 6000 € para producir colectores:

150x+100y\leq6000~;\text{simplificamos}\\\\3x+2y\leq120

Si a estas tres restricciones le añadimos las restricciones de positividad nos queda el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}x+y\geq10\\y\leq x+10\\3x+2y\leq120\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

Escribimos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{l}x+y=10\\y=x+10\\3x+2y=120\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p933

La región sombreada es la región factible que verifica el sistema de inecuaciones.
Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que forman dicho vértice:

\begin{array}{ll}A\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=x+10\\x+y=10\end{array}\right.&\rightarrow A=(0,10)\\B\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\y=x+10\end{array}\right.&\rightarrow B=(20,30)\\C\rightarrow\left\{\begin{array}{l}3x+2y=120\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow C=(40,0)\\D\rightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=10\\y=0\end{array}\right.&\rightarrow D=(10,0)\end{array}


b) Los beneficios de cada colector son de 130€ y de 140€ por cada colector de tipo A y B respectivamente. Definimos la función beneficios f:

f(x,y)=130x+140y

Evaluamos la función beneficios en cada vértice de la región factible:

A\rightarrow f(0,10)=130\cdot0+140\cdot10=1400\\B\rightarrow f(20,30)=6800\\C\rightarrow f(40,0)=5200\\C\rightarrow f(10,0)=1300

El máximo se obtiene en el vértice B. Luego, la producción que maximiza los beneficios es de 20 colectores de tipo A y de 30 colectores de tipo B, siendo los beneficios de 6800€.

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