Sean las funciones 
a) Representa los recintos limitados por las gráficas de f y g, estudiando los puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y los puntos en los que se cortan ambas funciones.
b) Calcula el área de dicho recinto.
Solución:
a) f y g son dos funciones elementales cuadráticas cuyas gráficas son parábolas.
Caso de la función f:
- Puntos de corte con el eje x (y=0):
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-4. Luego, f corta al eje x en (2,0) y (-4,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
f corta al eje y en (0,-8). - El mínimo de f se obtiene en su vértice
:
Tiene su vértice en (-1,-9).
Caso de la función g:
- Puntos de corte con el eje x (y=0):
g corta al eje x en los puntos (-2,0) y (2,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
g corta al eje y en el punto (0,4). - El máximo de g se obtiene en su vértice
g tiene su vértice en (0,4).
Para calcular donde se cortan ambas funciones las igualamos y resolvemos:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-3. Ambas funciones se cortan en los puntos (2,0) y (-3,-5).
Con todos los datos obtenidos, representamos las funciones en la siguiente gráfica:
b) El área S contenida entre ambas funciones es (recordar la tabla de integrales):
![\displaystyle S=\int_{-3}^2(-x^2+4)-(x^2+2x-8)~dx=\\\\=\int_{-3}^2-2x^2-2x+12~dx=\\\\=\left[\dfrac{-2x^3}3-x^2+12x\right]_{-3}^2=\\\\=\left(\dfrac{-2\cdot2^3}3-2^2+12\cdot2\right)-\left(\dfrac{-2\cdot(-3)^3}3-(-3)^2+12\cdot(-3)\right)=\\\\=\dfrac{44}3-(-27)=\boxed{\dfrac{125}3\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_%7B-3%7D%5E2%28-x%5E2%2B4%29-%28x%5E2%2B2x-8%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cint_%7B-3%7D%5E2-2x%5E2-2x%2B12%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B-2x%5E3%7D3-x%5E2%2B12x%5Cright%5D_%7B-3%7D%5E2%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-2%5Ccdot2%5E3%7D3-2%5E2%2B12%5Ccdot2%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cdfrac%7B-2%5Ccdot%28-3%29%5E3%7D3-%28-3%29%5E2%2B12%5Ccdot%28-3%29%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cdfrac%7B44%7D3-%28-27%29%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7B125%7D3%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_{-3}^2(-x^2+4)-(x^2+2x-8)~dx=\\\\=\int_{-3}^2-2x^2-2x+12~dx=\\\\=\left[\dfrac{-2x^3}3-x^2+12x\right]_{-3}^2=\\\\=\left(\dfrac{-2\cdot2^3}3-2^2+12\cdot2\right)-\left(\dfrac{-2\cdot(-3)^3}3-(-3)^2+12\cdot(-3)\right)=\\\\=\dfrac{44}3-(-27)=\boxed{\dfrac{125}3\text{ u.a.}}")
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