Problema 934

Sean las funciones f(x)=x^2+2x-8 y g(x)=-x^2+4.

a) Representa los recintos limitados por las gráficas de f y g, estudiando los puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y los puntos en los que se cortan ambas funciones.
b) Calcula el área de dicho recinto.


Solución:

a) f y g son dos funciones elementales cuadráticas cuyas gráficas son parábolas.

Caso de la función f:

  • Puntos de corte con el eje x (y=0):
    0=x^2+2x-8
    Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-4. Luego, f corta al eje x en (2,0) y (-4,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=0^2+2\cdot0-8=-8
    f corta al eje y en (0,-8).
  • El mínimo de f se obtiene en su vértice \left(x_v=\frac{-b}{2a}\right):
    x_v=\dfrac{-2}{2}=-1
    Tiene su vértice en (-1,-9).

Caso de la función g:

  • Puntos de corte con el eje x (y=0):
    0=-x^2+4\\x=\pm2
    g corta al eje x en los puntos (-2,0) y (2,0).
  • Punto de corte con el eje y (x=0):
    y=-0^2+4=4
    g corta al eje y en el punto (0,4).
  • El máximo de g se obtiene en su vértice \left(x_v=\frac{-b}{2a}\right):
    x_v=\dfrac0{-2}=0
    g tiene su vértice en (0,4).

Para calcular donde se cortan ambas funciones las igualamos y resolvemos:

f=g~;\\\\x^2+2x-8=-x^2+4~;\\\\2x^2+2x-12=0~;\\\\x^2+x-6=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-3. Ambas funciones se cortan en los puntos (2,0) y (-3,-5).

Con todos los datos obtenidos, representamos las funciones en la siguiente gráfica:

p934


b) El área S contenida entre ambas funciones es (recordar la tabla de integrales):

\displaystyle S=\int_{-3}^2(-x^2+4)-(x^2+2x-8)~dx=\\\\=\int_{-3}^2-2x^2-2x+12~dx=\\\\=\left[\dfrac{-2x^3}3-x^2+12x\right]_{-3}^2=\\\\=\left(\dfrac{-2\cdot2^3}3-2^2+12\cdot2\right)-\left(\dfrac{-2\cdot(-3)^3}3-(-3)^2+12\cdot(-3)\right)=\\\\=\dfrac{44}3-(-27)=\boxed{\dfrac{125}3\text{ u.a.}}

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