Sean las funciones y
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a) Representa los recintos limitados por las gráficas de f y g, estudiando los puntos de corte con los ejes, máximos, mínimos y los puntos en los que se cortan ambas funciones.
b) Calcula el área de dicho recinto.
Solución:
a) f y g son dos funciones elementales cuadráticas cuyas gráficas son parábolas.
Caso de la función f:
- Puntos de corte con el eje x (y=0):
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-4. Luego, f corta al eje x en (2,0) y (-4,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
f corta al eje y en (0,-8). - El mínimo de f se obtiene en su vértice
:
Tiene su vértice en (-1,-9).
Caso de la función g:
- Puntos de corte con el eje x (y=0):
g corta al eje x en los puntos (-2,0) y (2,0). - Punto de corte con el eje y (x=0):
g corta al eje y en el punto (0,4). - El máximo de g se obtiene en su vértice
:
g tiene su vértice en (0,4).
Para calcular donde se cortan ambas funciones las igualamos y resolvemos:
Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=2 y x=-3. Ambas funciones se cortan en los puntos (2,0) y (-3,-5).
Con todos los datos obtenidos, representamos las funciones en la siguiente gráfica:
b) El área S contenida entre ambas funciones es (recordar la tabla de integrales):
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