Problema 936

El tiempo de formación, en horas, que necesita un empleado de una empresa para poder trabajar en una nueva planta, sigue una distribución N(\mu,\sigma=15).

a) Elegida una muestra de 36 empleados de la empresa, se obtiene un intervalo de confianza (321.1,330.9) para la media μ. Calcula el tiempo medio de formación de los empleados de la muestra y el nivel de confianza con que se construyó el intervalo.
b) Supongamos que el tiempo de formación, en horas, que necesita un empleado de esa empresa para poder trabajar en una nueva planta sigue una distribución N(\mu=326,~\sigma=15). Calcula la probabilidad de que el tiempo medio de formación no supere las 330 horas, en muestras de 36 empleados.


Solución:

a) Para un intervalo de confianza escrito en la forma (a,b), el valor de la media muestral y el error cometido son:

\bullet~\overline x=\dfrac{b+a}2\\\bullet~E=\dfrac{b-a}2

Si el intervalo de confianza es (321.1,330.9), entonces:

\bullet~\overline x=\dfrac{330.9+321.1}2=326\\\bullet~E=\dfrac{330.9-321.1}2=4.9

A partir del error obtenemos z_{\alpha/2}:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\z_{\alpha/2}=E\cdot\dfrac{\sqrt n}{\sigma}=4.9\cdot\dfrac{\sqrt{36}}{15}=1.96

Según la tabla de probabilidades, para z_{\alpha/2}=1.96 corresponde una probabilidad de p=0.975, y así tenemos el nivel de confianza NC:

NC=2p-1=2\cdot0.975-1=0.95

El nivel de confianza es del 95%.


b) La distribución normal para la media es de la forma N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)=N\left(326,\frac{15}{\sqrt{36}}\right)=N(326,2.5):

P[\overline x\leq330]=P\left[z\leq\dfrac{330-326}{2.5}\right]=P[z\leq1.6]=\boxed{0.9452}

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