Problema 937

Dado el sistema de ecuaciones:

\begin{pmatrix}1&1&m\\2&1&0\\2&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}

a) Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro m.
b) Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para el caso m=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz de coeficientes M:

\begin{vmatrix}1&1&m\\2&1&0\\2&2&2\end{vmatrix}=2+4m-2m-4=2m-2

determinante que se anula para m=1, luego:

  • Si m≠1, entonces rg(M)=3 y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, entonces rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix}=2\neq0. Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&4\\1&0&3\\2&2&6\end{vmatrix}=6-8-6-6=-14\neq0
    Luego, el rg(M*)=3 y el sistema es incompatible.

b) Para m=2 el sistema es compatible determinado como se vio en el apartado a). Para resolverlo utilizamos la regla de Cramer:

\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&0\\2&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix}

x=\dfrac{\begin{vmatrix}4&1&2\\3&1&0\\6&2&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&2\\2&1&0\\2&2&2\end{vmatrix}}=\dfrac22=1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&4&2\\2&3&0\\2&6&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&2\\2&1&0\\2&2&2\end{vmatrix}}=\dfrac22=1

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&4\\2&1&3\\2&2&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&2\\2&1&0\\2&2&2\end{vmatrix}}=\dfrac22=1

CyL-MII-O-19-1A

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