Problema 938

a) Calcular la ecuación del plano π que contiene a la recta r\equiv\frac{x-1}2=\frac{y-1}3=\frac{z-1}2 y pasa por el punto A=(1,2,1).

b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto B=(2,1,2) y es perpendicular a las rectas s_1\equiv\frac{x-1}2=\frac{y-1}2=\frac{z-1}2 y s_2\equiv\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}3=\frac z2.


Solución:

a) Escribimos la recta r en forma vectorial:

r:~(x,y,z)=(1,1,1)+t(2,3,2)

Construimos el vector que une un punto de la recta P_r=(1,1,1) con el punto A:

\overrightarrow{P_rA}=(1,2,1)-(1,1,1)=(0,1,0)

Tenemos así el plano π que contiene a la recta r y al punto A:

\pi:~(x,y,z)=(1,1,1)+\lambda(2,3,2)+\mu(0,1,0)

Y en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-1&y-1&z-1\\2&3&2\\0&1&0\end{vmatrix}=2(z-1)-2(x-1)=2z-2-2x+2=\\\\=2z-2x=0

Simplificando, el plano es \boxed{\pi:~x-z=0}.


b) Queremos una recta r perpendicular a las rectas s_1 y s_2, luego, el vector director de r, \vec v_r, es perpendicular a los vectores directores de estas dos rectas, \vec v_1=(2,2,2) y \vec v_2=(-1,3,2):

\vec v_r=\vec v_1\times\vec v_2=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\2&2&2\\-1&3&2\end{vmatrix}=(4-6)\vec\imath+(-2-4)\vec\jmath+(6+2)\vec k\\\\\vec v_r=(-2,-6,8)

Y dado que la recta r pasa por el punto B(2,1,2), la ecuación de r en forma vectorial es:

\boxed{r:~(x,y,z)=(2,1,2)+t(-2,-6,8)}

CyL-MII-O-19-2A

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