Problema 939

Dada la función f(x)=2x^3+3x^2-12x, para x\in\mathbb R.

a) Calcule sus máximos y mínimos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Calcule el máximo y mínimo absolutos en el intervalo [-2,2].


Solución:

a) Se trata de una función polinómica, continua y derivable en todo su dominio.
Nos piden estudiar la monotonía de f. Comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=6x^2+6x-12=0~;\\\\6(x^2+x-2)=0~;\\\\x^2+x-2=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=1 y x=-2. Con estos dos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos su monotonía en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2)&(-2,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en (-\infty,-2)\cup(1,+\infty)
  • f decrece en (-2,1)
  • Máximo en (-2,20)
  • Mínimo en (1,-7)

b) Evaluamos f en los extremos del intervalo [-2,2]:

  • f(-2)=20
  • f(2)=4

En el intervalo [-2,2] el máximo absoluto es el punto (-2,20) y el mínimo absoluto es el mínimo relativo del apartado a), (1,-7).

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