Problema 940

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)-1}{x\,\text{sen}(x)}.

b) Calcular el área encerrada por las gráficas de f(x)=4x y de g(x)=x^3 en el intervalo [0,2], probando anteriormente que en dicho intervalo f\geq g.


Solución:

a) Para resolver indeterminaciones del tipo \frac00 utilizamos la regla de L’Hôpital:

\boxed{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}

Recordamos la tabla de derivadas, entonces:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)-1}{x\,\text{sen}(x)}=\dfrac{1-1}0\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-\text{sen}(x)}{\text{sen}(x)+x\cos(x)}=\dfrac00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{-\cos(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x\,\text{sen}(x)}=\dfrac{-1}{1+1-0}=\boxed{\dfrac{-1}{2}}


b) Tanto f como g son funciones polinómicas y por tanto, continuas en el intervalo [0,2].
Calculamos donde se cortan ambas funciones:

4x=x^3~;\\\\x^3-4x=0~;\\\\x(x^2-4)=0~;\\\\x(x-2)(x+2)=0

Ambas funciones se cortan en x=-2, x=0 y x=2, luego f-g no cambia de signo en el intervalo (0,2):

f(1)-g(1)=4\cdot1-1^3=3\geq0

Luego, fg en todo el intervalo [0,2].
El área S encerrada por las funciones f y g es:

\displaystyle S=\int_0^24x-x^3~dx=\left[2x^2-\dfrac{x^4}4\right]_0^2=\\\\=\left(2\cdot2^2-\dfrac{2^4}4\right)-(0)=8-4=\boxed{4\text{ u.a.}}

CyL-MII-O-19-4A

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