Problema 942

a) Encontrar los valores de k para que la matriz A=\begin{pmatrix}k-1&2&-2\\0&k-2&1\\1&0&1\end{pmatrix} sea invertible.

b) Encontrar la inversa de A para k=2.


Solución:

a) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Calculamos el determinante de A:

\begin{vmatrix}k-1&2&-2\\0&k-2&1\\1&0&1\end{vmatrix}=(k-1)(k-2)+2+2(k-2)=k^2-2k-k+2+2+2k-4=\\\\=k^2-k=k(k-1)

Determinante que se anula para k=0 y k=1, luego, A es invertible para todo k\neq0\text{ y }k\neq1.


b) Para k=2 la matriz A=\begin{pmatrix}1&2&-2\\0&0&1\\1&0&1\end{pmatrix} es invertible. Calculamos su inversa con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

|A|=2\cdot(2-1)=2

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-2&3&2\\2&-1&0\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}0&-2&2\\1&3&-1\\0&2&0\end{pmatrix}

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