Problema 943

Sean la recta r\equiv\frac{x-1}m=\frac{y-1}2=\frac{z-1}4 y el plano \pi\equiv x+y+kz=0. Encontrar m y k para que:

a) La recta r sea perpendicular al plano π.
b) La recta r esté contenida en el plano π.


Solución:

La recta r tiene por vector director \vec v_r=(m,2,4), y el plano π tiene por vector normal \vec n=(1,1,k).

a) Si r es perpendicular a π entonces el vector director de r es paralelo al vector normal de π:

\boxed{r\perp\pi}\leftrightarrow\boxed{\vec v_r\parallel\vec n}

Aplicamos la condición de paralelismo a los vectores \vec v_r\text{ y }\vec n:

\dfrac m1=\dfrac21=\dfrac4k

de donde obtenemos m=2 y k=2.


b) Para que la recta r esté contenida en el plano π debe cumplirse 2 cosas:

  1. Recta y plano han de ser paralelos.
  2. Un punto de la recta ha de estar contenida en el plano.
  • La recta y el plano son paralelos si el vector director de la recta \vec v_r=(m,2,4) y el vector normal del plano \vec n=(1,1,k) son perpendiculares.

\boxed{r\parallel\pi}\leftrightarrow\boxed{\vec v_r\perp\vec n}

Aplicamos la condición de perpendicularidad a ambos vectores:

\vec v_r\cdot\vec n=m\cdot1+2\cdot1+4\cdot k=m+2+4k=0

  • Tomamos un punto cualquiera de la recta, por ejemplo, P_r=(1,1,1) e imponemos que esté contenida en el plano (sustituimos las coordenadas del punto en la implícita del plano):

1+1+k=0

Con las dos ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{l}m+2+4k=0\\2+k=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es k=-2 y m=6.

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