Problema 944

Sea el polinomio f(x)=ax^3+bx^2+cx+d del cual sabemos que f(0)=1, f(1)=0 y que tiene extremos relativos en x=0 y x=1. Calcular a, b, c y d.


Solución:

Nos dicen que f(0)=1:

f(0)=d=1

También que f(1)=0:

f(1)=a+b+c+d=0

f tiene extremos relativos en x=0 y x=1, lo cual significa que:

  • f'(0)=0
  • f'(1)=0

Derivamos f:

f'(x)=3ax^2+2bx+c

  • f'(0)=c=0
  • f'(1)=3a+2b+c=0

Con todas las ecuaciones formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}d&=1\\a+b+c+d&=0\\c&=0\\3a+2b+c&=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es a=2, b=-3, c=0, d=1.

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