Problema 945

a) Sea f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x=0 y x=2.

b) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x\,\text{sen}(x)}{3\cos(x)-3}.


Solución:

a) Antes de calcular el área por integración necesitamos conocer el comportamiento de la función racional f.
Calculamos su dominio que es el conjunto de todos los números reales excepto los que anulan el denominador:

x^2+3x+1=0

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x=\frac{-3+\sqrt5}2\approx-0.38 y x=\frac{-3-\sqrt5}2\approx-2.61. Luego, la función elemental f es continua en el intervalo [0,2].
Estudiamos el signo de f, calculamos donde corta al eje OX (y=0):

0=\dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}~;\\\\2x+3=0~;\\\\x=\dfrac{-3}2

Luego, f conserva su signo en el intervalo [0,2]. Dado que f(0)=\frac31>0, entonces, f es positivo para todo x\in[0,2].
El área S buscada es:

\displaystyle S=\int_0^2\dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}~dx

Se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico (ver tabla de integrales):

S=\Big[\ln|x^2+3x+1|\Big]_0^2=(\ln|2^2+3\cdot2+1|)-(\ln|1|)=\\\\=\boxed{\ln(11)\text{ u.a.}}


b) Recordamos que las indeterminaciones del tipo 0/0 se puede resolver utilizando la regla de L’Hôpital:

\boxed{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac fg=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'}{g'}}

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{x\,\text{sen}(x)}{3\cos(x)-3}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}(x)+x\cos(x)}{-3\,\text{sen}(x)}=\dfrac00=\\\\\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)+\cos(x)-x\,\text{sen}(x)}{-3\cos(x)}=\dfrac{1+1-0}{-3\cdot1}=\boxed{\dfrac2{-3}}

CyL-MII-O-19-4B

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