Problema 947

a) Discutir según los valores del parámetro m el sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{c}x+y-z=1\\2x+y+mz=4\end{array}\right.

b) Resolverlo para m=1.


Solución:

a) Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial MX=N:

\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}

La matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&m\end{pmatrix}, cuyo rango es 2 ya que:

\begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq0

El rango de M es 2 independientemente de m.

La matriz ampliada es M^*=\begin{pmatrix}1&1&-1&1\\2&1&m&4\end{pmatrix}, cuyo rango también es 2.
Dado que el número de variables n es 3, según el teorema de R-F, el sistema es compatible indeterminado para todo valor de m.


b) Para m=1, el sistema es:

\left\{\begin{array}{c}x+y-z=1\\2x+y+z=4\end{array}\right.

Parametrizamos z=\lambda:

\left\{\begin{array}{c}x+y=1+\lambda\\2x+y=4-\lambda\end{array}\right.

Si a la segunda ecuación le restamos la primera, se obtiene:

x=4-\lambda-(1+\lambda)~;\\\\x=3-2\lambda

Sustituyendo en la primera ecuación:

3-2\lambda+y=1+\lambda~;\\\\y=-2+3\lambda

La solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=3-2\lambda\\y=-2+3\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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