Problema 948

Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores II, ,

a) Consideremos los vectores \vec u=(1,1,a),~\vec v=(1,-1,a). Calcular a para que sean perpendiculares.

b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores \vec p=(1,2,3) y \vec q=(1,-2,-3).

Solución:

a) Aplicamos la condición de perpendicularidad a \vec u y \vec v:

\vec u\cdot\vec v=1\cdot1+1\cdot(-1)+a\cdot a=a^2=0

de donde obtenemos a=0.

b) Multiplicando vectorialmente \vec p y \vec q obtenemos un vector \vec c perpendicular a ambos:

\vec c=\vec p\times\vec q=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&2&3\\1&-2&-3\end{vmatrix}=(-6+6)\vec\imath+(3+3)\vec\jmath+(-2-2)\vec k=(0,6,-4)

Calculamos el vector unitario de \vec c: \vec u_c=\frac{\vec c}{|\vec c|}:

\vec u_c=\dfrac{(0,6,-4)}{\sqrt{0^2+6^2+(-4)^2}}=\dfrac{(0,6,-4)}{\sqrt{52}}=\boxed{\left(0,\dfrac3{\sqrt{13}},\dfrac{-2}{\sqrt{13}}\right)}

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