Problema 948

📖Geometría II, Selectividad Mat II, Vectores IICondición de perpendicularidad, Vector unitario, vectoresdurán

a) Consideremos los vectores $\vec u=(1,1,a),~\vec v=(1,-1,a)$ . Calcular a para que sean perpendiculares.

b) Calcular un vector unitario perpendicular a los vectores $\vec p=(1,2,3)$ y $\vec q=(1,-2,-3)$ .

Solución:

a) Aplicamos la condición de perpendicularidad a $\vec u$ y $\vec v$ :

$\vec u\cdot\vec v=1\cdot1+1\cdot(-1)+a\cdot a=a^2=0$

de donde obtenemos a=0.

b) Multiplicando vectorialmente $\vec p$ y $\vec q$ obtenemos un vector $\vec c$ perpendicular a ambos:

$\vec c=\vec p\times\vec q=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&2&3\\1&-2&-3\end{vmatrix}=(-6+6)\vec\imath+(3+3)\vec\jmath+(-2-2)\vec k=(0,6,-4)$

Calculamos el vector unitario de $\vec c$ : $\vec u_c=\frac{\vec c}{|\vec c|}$ :

$\vec u_c=\dfrac{(0,6,-4)}{\sqrt{0^2+6^2+(-4)^2}}=\dfrac{(0,6,-4)}{\sqrt{52}}=\boxed{\left(0,\dfrac3{\sqrt{13}},\dfrac{-2}{\sqrt{13}}\right)}$

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