Problema 949

Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Límites, continuidad, derivadas II, Selectividad Mat II, , ,

Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x^2-2x&\text{si}&x<0\\x^2-4x&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Probar que posee un máximo relativo en -1 y un mínimo relativo en 2.
b) Probar que no posee extremo relativo en 0.

Solución:

a) Veamos si f es continua en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2-4x=0\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}-x^2-2x=0\\\bullet~f(0)=0^2-4\cdot0=0

Luego f es continua en x=0.
Estudiamos la monotonía de f para obtener sus extremos relativos, para ello calculamos la derivada de f y sus puntos críticos:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-2x-2&\text{si}&x<0\\2x-4&\text{si}&x>0\end{array}\right.

\bullet~-2x-2=0\rightarrow x=-1\\\bullet~2x-4=0\rightarrow x=2

Con estos dos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Observamos un máximo relativo en x=-1 y un mínimo relativo en x=2.

b) Según la tabla de monotonía del apartado a), en x=0 no hay un extremo relativo.

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CyL-MII-E-19-3A

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