Problema 950

a) Calcular \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}(x)}{e^x-\cos(x)}

b) Calcular a, siendo a>1, para que el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f(x)=x,~g(x)=ax y x=1 sea 1.


Solución:

a) Recordamos que para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 utilizamos la regla de L’Hôpital:

\boxed{\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}

Recordar la tabla de derivadas:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}(x)}{e^x-\cos(x)}=\dfrac0{1-1}\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos(x)}{e^x+\text{sen}(x)}=\dfrac1{1+0}=\boxed{1}


b) La función f(x)=x es una función lineal cuya gráfica es una recta creciente de pendiente 1, que pasa por los puntos (0,0) y (1,1).
La función f(x)=ax es otra función lineal cuya gráfica es una recta creciente de pendiente a>1, que pasa por los puntos (0,0) y (1,a).
La ecuación implícita x=1 corresponde a una recta vertical que pasa por el punto (1,0).

Hacemos una gráfica para ver el área que se menciona en el enunciado:

p950

El área S encerrada por las tres rectas es:

\displaystyle S=\int_0^1ax-x~dx=\int_0^1(a-1)x~dx=\\\\=(a-1)\int_0^1x~dx=(a-1)\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^1=\\\\=(a-1)\left(\dfrac12-0\right)=\dfrac{a-1}2

Igualamos el área S a 1 y resolvemos:

\dfrac{a-1}2=1~;\\\\a-1=2~;\\\\\boxed{a=3}

CyL-MII-E-19-4A

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