Problema 952

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix},~M=\begin{pmatrix}x&0\\y&1\\x-y&1\end{pmatrix} y N=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}, calcular los valores de x e y para que el producto AM sea igual a la inversa de la matriz N.


Solución:

Calculamos AM:

AM=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&0\\y&1\\x-y&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-y&1\\-x+y&1\end{pmatrix}

La matriz inversa de N es:

N^{-1}=\dfrac1{|N|}\cdot(\text{Adj}N)^t

|N|=\begin{vmatrix}1&-1\\-1&2\end{vmatrix}=2-1=1

\text{Adj}N=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

N^{-1}=\dfrac11\cdot\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

Igualamos ambos resultados:

\begin{pmatrix}2x-y&1\\-x+y&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

de donde obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}2x-y=2\\-x+y=1\end{array}\right.

Sumando ambas ecuaciones tenemos \boxed{x=3}, y sustituyendo en la segunda ecuación:

-3+y=1\rightarrow\boxed{y=4}

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