Problema 953

Hallar a y b para que los vectores (a,-1,2) y (1,b,-2) sean perpendiculares y las dos primeras coordenadas de su producto vectorial sean iguales.

Solución:

Aplicamos la condición de perpendicularidad a los vectores:

$(a,-1,2)\cdot(1,b,-2)=a\cdot1+(-1)\cdot b+2\cdot(-2)=a-b-4=0~;\\\\a-b=4\qquad(1)$

Calculamos el producto vectorial de ambos vectores:

$\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\a&-1&2\\1&b&-2\end{vmatrix}=(2-2b)\vec\imath+(2+2a)\vec\jmath+(ab+1)\vec k$

Igualamos las dos primeras coordenadas:

$2-2b=2+2a~;\\\\-2b=2a~;\\\\-b=a\qquad(2)$

Con las ecuaciones (1) y (2) formamos un sistema:

$\left\{\begin{array}{l}a-b=4\\-b=a\end{array}\right.$

sistema cuya solución es a=2, b=-2.

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