Problema 954

a) Enunciar el teorema de Rolle.

b) Indicar un punto en el que la función f(x)=2x-\text{sen}(x) tome el valor 0, y demostrar (o bien usando el teorema del apartado previo o bien con algún otro razonamiento) que esta función sólo se anula en ese punto.


Solución:

a) Ver enunciado aquí.


b) Se observa fácilmente que f toma el valor 0 para x=0.
f cumple las condiciones de continuidad y derivabilidad del teorema de Rolle para cualquier intervalo del dominio. Si f tomase el valor 0 en algún otro punto entonces, deberá existir algún valor c en dicho intervalo tal que f'(c)=0.

f'(x)=2-\cos(x)

Sabemos que \cos(x) toma valores entre -1 y 1, luego f' toma valores entre 2-(-1) y 2-1, es decir, entre 1 y 3, luego f' no vale 0 para ningún valor de x y en consecuencia f solo se anula en x=0.

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