Problema 955

Determínense los valores de a y de b para los cuales la función definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a+\cos(x)&\text{si}&x\leq0\\x^2-2bx+1&\text{si}&x>0\end{array}\right.

es continua y verifica que \int_0^1f(x)~dx=\frac13.


Solución:

Estudiamos la continuidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2-2bx+1=1\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}a+\cos(x)=a+1\\\bullet~f(0)=a+\cos(0)=a+1

Para que f sea continua en x=0 ha de ser a+1=1, de donde a=0.

Ahora utilizamos el dato de la integral:

\displaystyle\int_0^1x^2-2bx+1~dx=\dfrac13~;\\\\\left[\dfrac{x^3}3-bx^2+x\right]_0^1=\dfrac13~;\\\\\left(\dfrac{1^3}3-b\cdot1^2+1\right)-(0)=\dfrac13~;\\\\-b+1=0

de donde b=1.

CyL-MII-E-19-4B

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s