Problema 956

Probabilidad, Selectividad Mat II, , ,

En una empresa de alquiler de vehículos con conductor:

  • Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés.
  • Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés.
  • Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés.

Considerando los sucesos: A = “tener menos de 45 años”, B = “tener entre 45 y 55 años”, C = “tener más de 55 años” e I = “hablar inglés”:

a) Calcular P[I/A],~P[I/B]\text{ y }P[I/C].
b) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años?

Solución:

a) Calculamos las probabilidades utilizando la regla de Laplace:

\bullet~P[I/A]=\dfrac{15}{50}=\boxed{0.3}\\\\\bullet~P[I/B]=\dfrac6{30}=\boxed{0.2}\\\\\bullet~P[I/C]=\dfrac3{20}=\boxed{0.15}

b) Nos piden la probabilidad condicionada P[A/I]. Utilizamos el teorema de Bayes:

P[A/I]=\dfrac{P[A]\cdot P[I/A]}{P[I]}\qquad(1)

En total hay 50+30+20=100 conductores. La probabilidad de que un conductor elegido al azar sea menor de 45 años es:

P[A]=\dfrac{50}{100}=0.5

Necesitamos la probabilidad total de que un conductor elegido al azar hable inglés:

P[I]=P[A]\cdot P[I/A]+P[B]\cdot P[I/B]+P[C]\cdot P[I/C]=\\\\=0.5\cdot0.3+\dfrac{30}{100}\cdot0.2+\dfrac{20}{100}\cdot0.15=0.24

Sustituyendo en (1):

P[A/I]=\dfrac{0.5\cdot0.3}{0.24}=\boxed{0.625}

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