En una empresa de alquiler de vehículos con conductor:
- Trabajan 50 conductores de menos de 45 años, de los cuales 15 hablan inglés.
- Trabajan 30 conductores de entre 45 y 55 años, de los cuales 6 hablan inglés.
- Trabajan 20 conductores de más de 55 años, de los cuales 3 hablan inglés.
Considerando los sucesos: A = “tener menos de 45 años”, B = “tener entre 45 y 55 años”, C = “tener más de 55 años” e I = “hablar inglés”:
a) Calcular ![P[I/A],~P[I/B]\text{ y }P[I/C]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BI%2FA%5D%2C%7EP%5BI%2FB%5D%5Ctext%7B+y+%7DP%5BI%2FC%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[I/A],~P[I/B]\text{ y }P[I/C]")
b) Si se elige al azar un conductor, y éste habla inglés, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 45 años?
Solución:
a) Calculamos las probabilidades utilizando la regla de Laplace:
![\bullet~P[I/A]=\dfrac{15}{50}=\boxed{0.3}\\\\\bullet~P[I/B]=\dfrac6{30}=\boxed{0.2}\\\\\bullet~P[I/C]=\dfrac3{20}=\boxed{0.15}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbullet%7EP%5BI%2FA%5D%3D%5Cdfrac%7B15%7D%7B50%7D%3D%5Cboxed%7B0.3%7D%5C%5C%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BI%2FB%5D%3D%5Cdfrac6%7B30%7D%3D%5Cboxed%7B0.2%7D%5C%5C%5C%5C%5Cbullet%7EP%5BI%2FC%5D%3D%5Cdfrac3%7B20%7D%3D%5Cboxed%7B0.15%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\bullet~P[I/A]=\dfrac{15}{50}=\boxed{0.3}\\\\\bullet~P[I/B]=\dfrac6{30}=\boxed{0.2}\\\\\bullet~P[I/C]=\dfrac3{20}=\boxed{0.15}")
b) Nos piden la probabilidad condicionada ![P[A/I]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%2FI%5D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A/I]")
![P[A/I]=\dfrac{P[A]\cdot P[I/A]}{P[I]}\qquad(1)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%2FI%5D%3D%5Cdfrac%7BP%5BA%5D%5Ccdot+P%5BI%2FA%5D%7D%7BP%5BI%5D%7D%5Cqquad%281%29&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A/I]=\dfrac{P[A]\cdot P[I/A]}{P[I]}\qquad(1)")
En total hay 50+30+20=100 conductores. La probabilidad de que un conductor elegido al azar sea menor de 45 años es:
![P[A]=\dfrac{50}{100}=0.5](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%5D%3D%5Cdfrac%7B50%7D%7B100%7D%3D0.5&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A]=\dfrac{50}{100}=0.5")
Necesitamos la probabilidad total de que un conductor elegido al azar hable inglés:
![P[I]=P[A]\cdot P[I/A]+P[B]\cdot P[I/B]+P[C]\cdot P[I/C]=\\\\=0.5\cdot0.3+\dfrac{30}{100}\cdot0.2+\dfrac{20}{100}\cdot0.15=0.24](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BI%5D%3DP%5BA%5D%5Ccdot+P%5BI%2FA%5D%2BP%5BB%5D%5Ccdot+P%5BI%2FB%5D%2BP%5BC%5D%5Ccdot+P%5BI%2FC%5D%3D%5C%5C%5C%5C%3D0.5%5Ccdot0.3%2B%5Cdfrac%7B30%7D%7B100%7D%5Ccdot0.2%2B%5Cdfrac%7B20%7D%7B100%7D%5Ccdot0.15%3D0.24&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[I]=P[A]\cdot P[I/A]+P[B]\cdot P[I/B]+P[C]\cdot P[I/C]=\\\\=0.5\cdot0.3+\dfrac{30}{100}\cdot0.2+\dfrac{20}{100}\cdot0.15=0.24")
Sustituyendo en (1):
![P[A/I]=\dfrac{0.5\cdot0.3}{0.24}=\boxed{0.625}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=P%5BA%2FI%5D%3D%5Cdfrac%7B0.5%5Ccdot0.3%7D%7B0.24%7D%3D%5Cboxed%7B0.625%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "P[A/I]=\dfrac{0.5\cdot0.3}{0.24}=\boxed{0.625}")
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